giúp mình với Phần I . Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn . Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học,sinh chỉ chọn một phương án,Câu 1: (TD 1.1) Nguyên hàm của hàm số $y=3^x$ là,$A.~\int3^xdx=\ln3.3^x+C.$ $B.~\int3^xdx=3^x+C.$ $C.~\int3^xdx=\frac{3^x}{\ln3}+C.$ $D.~\int3^xdx=\frac{3^x}{x+1}+C.$,Câu 2: (TD 1.1) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b$ được tính theo công thức,$A.~S=\int^b_a|f(x)|dx.$ $B.~S=\int^b_af(x)dx.$ $C.~S=-\int^b_af(x)dx.$ $D.~S=\int^a_b|f(x)|dx.$,Câu 3: (TD 1.2) Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên R . Mệnh đề nào sau đây là sai ?,$A.~\int[f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx.$,$B.~\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$,$C.~\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k\in R\setminus\{0\}.$,$D.~\int f(x).g(x)dx=\int f(x)dx.\int g(x)dx.$,Câu 4: (TD 1.1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A~-3;4;2,~B~-5;6;2.$ Mặt phẳng (P) đi,qua A và vuông góc với AB có phương trình là,$A.~x-y+1=0.$ $B.~x-y-1=0.$ $C.~-2x+2y+7=0.$ $D.~2x-2y-1=0$,Câu 5: (TD1.1) Biết $\int f(x)dx=F(x)+C.$ Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~f^\prime(x)=F(x).$ $B.~f^\prime(x)=F(x)+C.$,$C.~F^\prime(x)=f(x)-C.$ $D.~F^\prime(x)=f(x).$,Câu 6: (TD 1.2 ). Cho $\int^2_1f(x)dx=5,\int^1_2g(x)dx=4.$ Tính $\int^2_1[f(x)+2g(x)]dx.$,A. 9. B.13. C.-3. D. - 1,Câu 7: (GQVĐ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$ và $y=x+2$ là,$A.~S=9.$ $B.~S=\frac94.$ $C.~S=\frac92.$ $D.~S=\frac88.$,Câu 8: ( TD1.2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(\alpha):~3x-y+5=0$ vectơ nào dưới đây có giá vuông,góc với $(\alpha)$,$A.~\overrightarrow a=(2;-3;1)$ $B.~\overrightarrow b=(2;1;-3)$ $C.~\overrightarrow c=(3;-1;0)$ $D.~\overrightarrow d=(3;-1;5)$,Câu9: (TD1.1) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P):~2x-3y+z-4=0;$,$(Q):~5x-3y-2z-7=0,$ Vị trí tương đối của $(P)\&(Q)$ là,A. Song song. B. Cắt nhưng không vuông góc.,C. Vuông góc. D. Trùng nhau.

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Nguyên hàm của hàm số $y = 3^x$ là:

Ta biết rằng nguyên hàm của hàm số $a^x$ (với $a > 0$ và $a \neq 1$) là $\frac{a^x}{\ln a} + C$. Áp dụng vào bài toán này với $a = 3$, ta có:

$$ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C $$

Do đó, đáp án đúng là:

C. $\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

Đáp án: C. $\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

Câu 2:
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $, ta cần sử dụng công thức tích phân để tính diện tích này.

Công thức tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ là:
$$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$

Giải thích từng bước:
1. Điều kiện xác định: Hàm số $ y = f(x) $ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Điều này đảm bảo rằng ta có thể áp dụng công thức tích phân để tính diện tích.
2. Tính diện tích: Diện tích $ S $ được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số $ f(x) $ từ $ x = a $ đến $ x = b $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \boxed{A. \, S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx} $$

Câu 3:
Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

A. $\int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx.$

Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu của các tích phân của từng hàm số. Do đó, mệnh đề này đúng.

B. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$

Tương tự như trên, tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của các tích phân của từng hàm số. Do đó, mệnh đề này cũng đúng.

C. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus \{0\}.$

Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng.

D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$

Mệnh đề này là sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của các tích phân của từng hàm số. Tính chất này không tồn tại trong lý thuyết tích phân.

Do đó, mệnh đề sai là D.

Câu 4:
Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   - Vectơ AB có tọa độ là:
     $$
     \overrightarrow{AB} = (-5 - (-3); 6 - 4; 2 - 2) = (-2; 2; 0)
     $$
   - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với AB, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (-2; 2; 0)$.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P):
   - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng.
   - Thay tọa độ của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-2; 2; 0)$ và điểm A(-3; 4; 2) vào phương trình mặt phẳng:
     $$
     -2(x + 3) + 2(y - 4) + 0(z - 2) = 0
     $$
   - Rút gọn phương trình:
     $$
     -2x - 6 + 2y - 8 = 0
     $$
     $$
     -2x + 2y - 14 = 0
     $$
     $$
     -2x + 2y = 14
     $$
     $$
     x - y = -7
     $$

3. Kiểm tra đáp án:
   - Phương trình mặt phẳng (P) là $x - y = -7$. Ta thấy rằng phương trình này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các phương án đã cho để tìm phương trình tương đương.

- Các phương án đã cho:
     A. $x - y + 1 = 0$
     B. $x - y - 1 = 0$
     C. $-2x + 2y + 7 = 0$
     D. $2x - 2y - 1 = 0$

- Ta thấy rằng phương trình $-2x + 2y + 7 = 0$ là phương trình tương đương với phương trình $x - y = -7$ (chia cả hai vế cho -2).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
$$
\boxed{C. -2x + 2y + 7 = 0}
$$

Câu 5:
Ta có $\int f(x)dx=F(x)+C.$

Theo định nghĩa của nguyên hàm, ta có:

$f(x)$ là đạo hàm của $F(x) + C$.

Do đó:

$F'(x) = f(x)$.

Vậy khẳng định đúng là:

D. $F^\prime(x)=f(x).$

Câu 6:
Để tính $\int^2_1[f(x)+2g(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân.

Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$$
\int^2_1[f(x) + 2g(x)]dx = \int^2_1 f(x) dx + \int^2_1 2g(x) dx
$$

Bước 2: Tách tích phân của hàm số nhân với hằng số:
$$
\int^2_1 2g(x) dx = 2 \int^2_1 g(x) dx
$$

Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào:
$$
\int^2_1 f(x) dx = 5
$$
$$
\int^2_1 g(x) dx = -4 \quad (\text{vì} \int^1_2 g(x) dx = 4 \Rightarrow \int^2_1 g(x) dx = -4)
$$

Bước 4: Kết hợp các kết quả:
$$
\int^2_1 [f(x) + 2g(x)] dx = 5 + 2(-4) = 5 - 8 = -3
$$

Vậy đáp án đúng là:
C. -3

Đáp số: C. -3

Câu 7:
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:
   Ta giải phương trình:
   $$
   x^2 = x + 2
   $$
   $$
   x^2 - x - 2 = 0
   $$
   $$
   (x - 2)(x + 1) = 0
   $$
   Vậy các giao điểm là $ x = 2 $ và $ x = -1 $.

2. Xác định khoảng tích phân:
   Các giao điểm đã tìm được là $ x = -1 $ và $ x = 2 $. Do đó, ta sẽ tính diện tích từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $.

3. Tính diện tích:
   Diện tích $ S $ giữa hai đường cong từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $ được tính bằng công thức:
   $$
   S = \int_{-1}^{2} [(x + 2) - x^2] \, dx
   $$

4. Tính tích phân:
   Ta tính từng phần của tích phân:
   $$
   \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} x \, dx + \int_{-1}^{2} 2 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx
   $$
   $$
   = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} + \left[ 2x \right]_{-1}^{2} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}
   $$
   $$
   = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) + \left( 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right)
   $$
   $$
   = \left( 2 - \frac{1}{2} \right) + \left( 4 + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \right)
   $$
   $$
   = \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) + 6 - \left( \frac{9}{3} \right)
   $$
   $$
   = \frac{3}{2} + 6 - 3
   $$
   $$
   = \frac{3}{2} + 3
   $$
   $$
   = \frac{3}{2} + \frac{6}{2}
   $$
   $$
   = \frac{9}{2}
   $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $ là $ S = \frac{9}{2} $.

Đáp án đúng là: C. $ S = \frac{9}{2} $.

Câu 8:
Để tìm vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):~3x - y + 5 = 0$, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.

Một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng thì song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Do đó, ta cần tìm vectơ trong các lựa chọn A, B, C, D có cùng hướng hoặc ngược hướng với $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.

Ta kiểm tra từng vectơ:
- A. $\overrightarrow{a} = (2, -3, 1)$: Không cùng hướng hoặc ngược hướng với $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.
- B. $\overrightarrow{b} = (2, 1, -3)$: Không cùng hướng hoặc ngược hướng với $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.
- C. $\overrightarrow{c} = (3, -1, 0)$: Cùng hướng với $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.
- D. $\overrightarrow{d} = (3, -1, 5)$: Không cùng hướng hoặc ngược hướng với $\overrightarrow{n} = (3, -1, 0)$.

Vậy, vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{c} = (3, -1, 0)$.

Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{c} = (3, -1, 0)$.

Câu9:
Để xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ trong không gian Oxyz, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau.

1. Kiểm tra điều kiện song song:
   - Hai mặt phẳng song song nếu các vector pháp tuyến của chúng cùng phương.
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_1 = (2, -3, 1)$.
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (5, -3, -2)$.
   - Ta thấy rằng $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2$. Do đó, hai mặt phẳng không song song.

2. Kiểm tra điều kiện vuông góc:
   - Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vector pháp tuyến của chúng bằng 0.
   - Tích vô hướng của $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ là:
     $$
     \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-3) + 1 \cdot (-2) = 10 + 9 - 2 = 17 \neq 0
     $$
   - Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai mặt phẳng không vuông góc.

3. Kết luận:
   - Vì hai mặt phẳng không song song và không vuông góc, nên chúng phải cắt nhau.

Do đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là:
B. Cắt nhưng không vuông góc.