giúp tui với PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 36. Hàm số $F(x)=\cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $(0;\frac\pi2)$,$A.~f_2(x)=\frac1{\sin^2x}.$ $B.~f_1(x)=-\frac1{\cos^2x}.$ $C.~f_4(x)=\frac1{\cos^2x}.$ $D.~f_3(x)=-\frac1{\sin^2x}.$,Câu 37. Cho hàm số $f(x)=1+\sin x.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=x-\cos x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x+\sin x+C.$,$C.~\int f(x)dx=x+\cos x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\cos x+C.$,Câu 38. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\cos^2\frac x2$,$A.~F(x)=2\cos\frac x2+C$ $B.~F(x)=\frac12(1+\sin x)+C$,$C.~F(x)=2\sin\frac x2+C$ $D.~F(x)=\frac12(1-\sin x)+C$,Câu 39. Cho hàm số $f(x)=1-\frac1{\cos^2x}.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=x+ an x+C.$,$C.~\int f(x)dx=x- an x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x+\cot x.$,Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số $D.~\int f(x)$,$f(x)=\cos y$,$A.~\sin x+3x^2+C.$ $B.~-\sin x$,Câu 41. Tìm nguyên hàm,$A.~f(2)$

Question

giúp tui với PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 36. Hàm số $F(x)=\cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $(0;\frac\pi2)$,$A.~f_2(x)=\frac1{\sin^2x}.$ $B.~f_1(x)=-\frac1{\cos^2x}.$ $C.~f_4(x)=\frac1{\cos^2x}.$ $D.~f_3(x)=-\frac1{\sin^2x}.$,Câu 37. Cho hàm số $f(x)=1+\sin x.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=x-\cos x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x+\sin x+C.$,$C.~\int f(x)dx=x+\cos x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\cos x+C.$,Câu 38. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\cos^2\frac x2$,$A.~F(x)=2\cos\frac x2+C$ $B.~F(x)=\frac12(1+\sin x)+C$,$C.~F(x)=2\sin\frac x2+C$ $D.~F(x)=\frac12(1-\sin x)+C$,Câu 39. Cho hàm số $f(x)=1-\frac1{\cos^2x}.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=x+	an x+C.$,$C.~\int f(x)dx=x-	an x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x+\cot x.$,Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số $D.~\int f(x)$,$f(x)=\cos y$,$A.~\sin x+3x^2+C.$ $B.~-\sin x$,Câu 41. Tìm nguyên hàm,$A.~f(2)$

Accepted Answer

Câu 36.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ F(x) = \cot x $, ta cần tìm đạo hàm của $ F(x) $.

Ta có:
$$ F(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' $$

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ F'(x) = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} $$
$$ F'(x) = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} $$
$$ F'(x) = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} $$
$$ F'(x) = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} $$
$$ F'(x) = \frac{-1}{\sin^2 x} $$
$$ F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} $$

Như vậy, đạo hàm của $ F(x) = \cot x $ là $ F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} $.

Do đó, hàm số $ F(x) = \cot x $ là một nguyên hàm của hàm số $ f_3(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} $.

Đáp án đúng là: D. $ f_3(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} $.

Câu 37.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 1 + \sin x $.

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số.
- Nguyên hàm của $ 1 $ là $ x $.
- Nguyên hàm của $ \sin x $ là $ -\cos x $.

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau và thêm hằng số $ C $:
$$ \int f(x) \, dx = \int (1 + \sin x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \sin x \, dx = x - \cos x + C $$

Do đó, khẳng định đúng là:
A. $ \int f(x) \, dx = x - \cos x + C $

Đáp án: A. $ \int f(x) \, dx = x - \cos x + C $

Câu 38.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cho $ \cos^2 \frac{x}{2} $:
$$ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} $$

Bước 2: Viết lại hàm số $ f(x) $ dưới dạng:
$$ f(x) = \frac{1 + \cos x}{2} $$

Bước 3: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $:
$$ F(x) = \int \frac{1 + \cos x}{2} \, dx $$
$$ F(x) = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) \, dx $$

Bước 4: Tính nguyên hàm từng phần:
$$ \int 1 \, dx = x $$
$$ \int \cos x \, dx = \sin x $$

Do đó:
$$ F(x) = \frac{1}{2} \left( x + \sin x \right) + C $$
$$ F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C $$

Bước 5: Kiểm tra đáp án:
$$ F(x) = \frac{1}{2}(x + \sin x) + C $$

Nhìn vào các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là:
$$ F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C $$

Vậy đáp án đúng là:
B. $ F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C $

Đáp án: B. $ F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C $

Câu 39.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} $.

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức $ f(x) $.

- Nguyên hàm của $ 1 $ là $ x + C_1 $.
- Biết rằng $ \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $, và nguyên hàm của $ \sec^2 x $ là $ \tan x + C_2 $.

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau.

$$
\int f(x) \, dx = \int \left( 1 - \frac{1}{\cos^2 x} \right) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = x + C_1 - (\tan x + C_2)
$$

Bước 3: Gộp hằng số $ C_1 $ và $ C_2 $ thành một hằng số tổng quát $ C $.

$$
\int f(x) \, dx = x - \tan x + C
$$

Vậy, khẳng định đúng là:
C. $\int f(x) \, dx = x - \tan x + C$.

Câu 40.
Để tìm họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \cos x + 6x $, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.

Bước 1: Tính nguyên hàm của $ \cos x $:
$$ \int \cos x \, dx = \sin x + C_1 $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của $ 6x $:
$$ \int 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 3x^2 + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên:
$$ \int (\cos x + 6x) \, dx = \sin x + 3x^2 + C $$
Trong đó, $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tổng quát.

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \cos x + 6x $ là:
$$ \sin x + 3x^2 + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
A. $ \sin x + 3x^2 + C $

Đáp án: A. $ \sin x + 3x^2 + C $

Câu 41.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \sin(2x) + 3x $, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này.

1. Tìm nguyên hàm của $ \sin(2x) $:
$$ \int \sin(2x) \, dx $$

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm sin:
$$ \int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $$
Ở đây, $ a = 2 $, nên:
$$ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C_1 $$

2. Tìm nguyên hàm của $ 3x $:
$$ \int 3x \, dx $$

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm đa thức:
$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Ở đây, $ n = 1 $, nên:
$$ \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = \frac{3}{2} x^2 + C_2 $$

3. Kết hợp hai kết quả trên:
$$ \int (\sin(2x) + 3x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{3}{2} x^2 + C $$

Trong đó, $ C $ là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả $ C_1 $ và $ C_2 $.

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ \int (\sin(2x) + 3x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{3}{2} x^2 + C $

Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là:
C. $ \int (\sin(2x) + 3x) \, dx = \sin^2(x) + \frac{3}{2} x^2 + C $

Nhưng theo công thức chuẩn, đáp án đúng là:
D. $ \int (\sin(2x) + 3x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{3}{2} x^2 + C $

Vậy đáp án cuối cùng là:
D. $ \int (\sin(2x) + 3x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{3}{2} x^2 + C $