Giúp mình vớii Bạn Hạnh cần gấp một cái hộp quà có dạng hình,lăng trụ tứ giác đều với thể tích bảng $64~dm^3$,Giả sử cạnh đáy của hình lăng trụ tứ giác đều là,$x(dm).$ chiều cao của hình lăng trụ tứ giác đều,là y (dm).,Các đại lượng x và y thỏa,mãn $x^2y=64$,$b.~\downarrow imes$ Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ là,$S=2x^2+4xy(dm^3)$,Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ bằng,$f(x)=2x^2+\frac{64}{x^3}$,Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ có giá trị nhỏ,nhất bằng $64~dm^3$

Question

Giúp mình vớii Bạn Hạnh cần gấp một cái hộp quà có dạng hình,lăng trụ tứ giác đều với thể tích bảng $64~dm^3$,Giả sử cạnh đáy của hình lăng trụ tứ giác đều là,$x(dm).$ chiều cao của hình lăng trụ tứ giác đều,là y (dm).,Các đại lượng x và y thỏa,mãn $x^2y=64$,$b.~\downarrow	imes$ Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ là,$S=2x^2+4xy(dm^3)$,Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ bằng,$f(x)=2x^2+\frac{64}{x^3}$,Tổng diện tích tất cả các mặt,của hình lăng trụ có giá trị nhỏ,nhất bằng $64~dm^3$

Accepted Answer

a. Các đại lượng x và y thỏa mãn $x^2y=64$.

b. Tổng diện tích tất cả các mặt của hình lăng trụ là $S=2x^2+4xy(dm^3)$.

c. Từ $x^2y=64$, ta có $y=\frac{64}{x^2}$. Thay vào biểu thức của S, ta được:

$$ S = 2x^2 + 4x \left(\frac{64}{x^2}\right) = 2x^2 + \frac{256}{x} $$

d. Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích S, ta tính đạo hàm của S theo x và tìm điểm cực tiểu.

$$ f(x) = 2x^2 + \frac{256}{x} $$

Tính đạo hàm:

$$ f'(x) = 4x - \frac{256}{x^2} $$

Đặt $f'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị:

$$ 4x - \frac{256}{x^2} = 0 $$
$$ 4x = \frac{256}{x^2} $$
$$ 4x^3 = 256 $$
$$ x^3 = 64 $$
$$ x = 4 $$

Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất cực trị:

$$ f''(x) = 4 + \frac{512}{x^3} $$

Tại $x = 4$:

$$ f''(4) = 4 + \frac{512}{4^3} = 4 + \frac{512}{64} = 4 + 8 = 12 > 0 $$

Vậy $x = 4$ là điểm cực tiểu của hàm số. Thay $x = 4$ vào biểu thức của S:

$$ S = 2(4)^2 + \frac{256}{4} = 2 \cdot 16 + 64 = 32 + 64 = 96 $$

Vậy tổng diện tích tất cả các mặt của hình lăng trụ có giá trị nhỏ nhất bằng $96~dm^2$.

Đáp số: $96~dm^2$.