Một nhà máy nhận được một đơn hàng sản xuất 6750 sản phẩm. Biết rằng trong một giờ thì một máy có thể sản xuất được 50 sản phẩm. Chi phí hao mòn mỗi máy là 300 nghìn/một giờ và chi phí nhân công vận hành hệ thống máy là 500 nghìn đồng/một giờ. Giả sử cần sử dụng ít nhất X máy để sản xuất 6750 sản phẩm. Đế chỉ phí sản xuất thấp nhất, công ty cần sử dụng bao nhiêu máy?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính thời gian cần thiết để hoàn thành đơn hàng:
   - Số sản phẩm cần sản xuất: 6750 sản phẩm.
   - Một máy sản xuất được 50 sản phẩm/giờ.
   - Thời gian cần thiết để một máy hoàn thành đơn hàng:
     $$
     t = \frac{6750}{50} = 135 \text{ giờ}
     $$

2. Xác định số máy cần sử dụng để tối ưu hóa chi phí:
   - Gọi số máy cần sử dụng là $ n $.
   - Thời gian cần thiết để $ n $ máy hoàn thành đơn hàng:
     $$
     t_n = \frac{135}{n} \text{ giờ}
     $$

3. Tính tổng chi phí sản xuất:
   - Chi phí hao mòn của $ n $ máy trong $ t_n $ giờ:
     $$
     C_{\text{hao mòn}} = n \times 300 \times t_n = n \times 300 \times \frac{135}{n} = 40500 \text{ nghìn đồng}
     $$
   - Chi phí nhân công vận hành hệ thống máy trong $ t_n $ giờ:
     $$
     C_{\text{nhân công}} = 500 \times t_n = 500 \times \frac{135}{n} = \frac{67500}{n} \text{ nghìn đồng}
     $$
   - Tổng chi phí sản xuất:
     $$
     C_{\text{tổng}} = 40500 + \frac{67500}{n} \text{ nghìn đồng}
     $$

4. Tìm giá trị $ n $ để tổng chi phí sản xuất thấp nhất:
   - Để tìm giá trị $ n $ tối ưu, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ C_{\text{tổng}} $ theo $ n $:
     $$
     C_{\text{tổng}}(n) = 40500 + \frac{67500}{n}
     $$
     $$
     \frac{dC_{\text{tổng}}}{dn} = -\frac{67500}{n^2}
     $$
   - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
     $$
     -\frac{67500}{n^2} = 0
     $$
     Điều này không có nghiệm vì $ n \neq 0 $. Do đó, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị $ n $ gần nhau để tìm giá trị tối ưu.

5. Kiểm tra các giá trị $ n $ gần nhau:
   - Ta thử các giá trị $ n = 10, 11, 12, 13, 14 $:
     $$
     C_{\text{tổng}}(10) = 40500 + \frac{67500}{10} = 40500 + 6750 = 47250 \text{ nghìn đồng}
     $$
     $$
     C_{\text{tổng}}(11) = 40500 + \frac{67500}{11} \approx 40500 + 6136.36 = 46636.36 \text{ nghìn đồng}
     $$
     $$
     C_{\text{tổng}}(12) = 40500 + \frac{67500}{12} \approx 40500 + 5625 = 46125 \text{ nghìn đồng}
     $$
     $$
     C_{\text{tổng}}(13) = 40500 + \frac{67500}{13} \approx 40500 + 5192.31 = 45692.31 \text{ nghìn đồng}
     $$
     $$
     C_{\text{tổng}}(14) = 40500 + \frac{67500}{14} \approx 40500 + 4821.43 = 45321.43 \text{ nghìn đồng}
     $$

6. Kết luận:
   - Chi phí sản xuất thấp nhất khi sử dụng 14 máy.

Vậy, công ty cần sử dụng 14 máy để chi phí sản xuất thấp nhất.

Một nhà máy nhận được một đơn hàng sản xuất 6750 sản phẩm. Biết rằng trong một giờ thì một máy có thể sản xuất được 50 sản phẩm. Chi phí hao mòn mỗi máy là 300 nghìn/một giờ và chi phí nhân công vận hà...