giúp mình với Câu 5. Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có,hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét,,chiều dài6 mét, đỉnh trại cách nền3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Question

Accepted Answer

Câu 5.
Để tính thể tích phần không gian bên trong trại, ta sẽ áp dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay.

Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol. Vì nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét, nên ta có thể coi đường parabol này có đỉnh ở điểm (0, 3) và đi qua hai điểm (-1.5, 0) và (1.5, 0).

Phương trình của đường parabol có dạng y = ax^2 + bx + c. Ta thay các điểm vào phương trình để tìm các hệ số a, b, c:

- Thay (0, 3) vào phương trình: 3 = a(0)^2 + b(0) + c => c = 3.
- Thay (-1.5, 0) vào phương trình: 0 = a(-1.5)^2 + b(-1.5) + 3 => 0 = 2.25a - 1.5b + 3.
- Thay (1.5, 0) vào phương trình: 0 = a(1.5)^2 + b(1.5) + 3 => 0 = 2.25a + 1.5b + 3.

Từ hai phương trình cuối cùng, ta có:
2.25a - 1.5b + 3 = 0
2.25a + 1.5b + 3 = 0

Cộng hai phương trình này lại, ta có:
4.5a + 6 = 0 => a = -\frac{4}{3}

Thay a = -\frac{4}{3} vào một trong hai phương trình trên, ta có:
2.25(-\frac{4}{3}) - 1.5b + 3 = 0 => -3 - 1.5b + 3 = 0 => -1.5b = 0 => b = 0

Vậy phương trình của đường parabol là y = -\frac{4}{3}x^2 + 3.

Bây giờ, ta tính thể tích phần không gian bên trong trại bằng cách tính thể tích khối tròn xoay của đường parabol quay quanh trục y từ x = -1.5 đến x = 1.5.

Thể tích V của khối tròn xoay được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{-1.5}^{1.5} y^2 \, dx $$

Thay y = -\frac{4}{3}x^2 + 3 vào công thức trên:
$$ V = \pi \int_{-1.5}^{1.5} \left( -\frac{4}{3}x^2 + 3 \right)^2 \, dx $$
$$ V = \pi \int_{-1.5}^{1.5} \left( \frac{16}{9}x^4 - 8x^2 + 9 \right) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ V = \pi \left[ \frac{16}{9} \cdot \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^3}{3} + 9x \right]_{-1.5}^{1.5} $$
$$ V = \pi \left[ \frac{16}{45}x^5 - \frac{8}{3}x^3 + 9x \right]_{-1.5}^{1.5} $$

Thay x = 1.5 và x = -1.5 vào:
$$ V = \pi \left( \left( \frac{16}{45}(1.5)^5 - \frac{8}{3}(1.5)^3 + 9(1.5) \right) - \left( \frac{16}{45}(-1.5)^5 - \frac{8}{3}(-1.5)^3 + 9(-1.5) \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \left( \frac{16}{45} \cdot 7.59375 - \frac{8}{3} \cdot 3.375 + 13.5 \right) - \left( \frac{16}{45} \cdot (-7.59375) - \frac{8}{3} \cdot (-3.375) - 13.5 \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( \left( 2.66667 - 9 + 13.5 \right) - \left( -2.66667 + 9 - 13.5 \right) \right) $$
$$ V = \pi \left( 7.16667 - (-7.16667) \right) $$
$$ V = \pi \cdot 14.33334 $$
$$ V = 14.33334\pi $$

Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là:
$$ V = 14.33334\pi \approx 45.03 \text{ mét khối} $$

Đáp số: 45.03 mét khối.