giải bài tập Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) có phương trình $8x+2$,nào trong các điểm sau không thuộc mặt phẳng (R)?,$A.~D(6;-3;-5).$ $B.~N(1;-3;-7).$ $C.~C(-3;1;-4).$ $I$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(R):~-7x+6y+7z-7=0$ và,$12y+14z-8=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng,$A.~\frac{15\sqrt{134}}{134}.$ $B.~\frac34.$ $C.~\frac{3\sqrt{13}4}{134}.$ $D.~\frac12$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2.0 điểm),Câu 1. Cho F ()) là một nguyên hàm của $f(x)=-2x+3.$ Xét tính đúng-sai của các khẩ,$a)~F^\prime(x)=-2x.$,$b)~\int^2_{-1}(-2x+3)~dx=F(2)-F(-1).$,$c)~F(x)=-x^2+3x+C.$,$d)~\int^{-5}_{-9}f(x)dx=52.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x+2y-z-2=0.$ Xét 1,của các khẳng định sau:,$a)~\overrightarrow n=(-2;-4;2)$ là một véctơ pháp tuyến của $(\alpha).$,b) Điểm $A(3;-3;-5)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha).$,c) Khoảng cách từ điểm $B(7;-1;-4)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $\frac{7\sqrt6}6.$,d) Khoảng cách giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(R):~2x+4y-2z+2=0$ bằng $\frac{\sqrt6}2.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2.0 điểm),Câu 1. Kết quả của tích phân $I=\int^3_0\frac{e^{2x-3}}3.dx$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 2. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=6.$ biết rằng khi cắt vật thì,bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ a $x~(0\leq x\leq6)$ thì được thiết diện là một,hình chữ nhật có hai cạnh là 6x và $x^2-x.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) có phương trình $x-2y+7z+3=0.$ Mặt phẳng (P),đi qua điểm $E(3;-3;-2)$ và song song với (R) có phương trình dạng $x+ay+bz+c=0.$ Tính $S=a+$,$b+c.$,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;5;-5).$ Biết $G(a;b;c)$ là điểm đối xứng với điểm,phẳng (oyz). Tính $P=abc.$,PHẦN IV. Tự luận (3.0 điểm),Câu 1. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm Z trong,một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản,phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi,công thức $C^\prime(x)=11-0,10x+0,00050x^2$ với $0\leq x\leq101.$ Biết rằng $G(0)=20$ triệu đồng, gọi là chỉ,phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 93 tấn sản phẩm Z trong tháng (kết quả làm tròn đến,hàng đơn vị).,Câu 2. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang,như hình sau. Tính diện tích của cửa hầm.,,2

Question

giải bài tập Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) có phương trình $8x+2$,nào trong các điểm sau không thuộc mặt phẳng (R)?,$A.~D(6;-3;-5).$ $B.~N(1;-3;-7).$ $C.~C(-3;1;-4).$ $I$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(R):~-7x+6y+7z-7=0$ và,$12y+14z-8=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng,$A.~\frac{15\sqrt{134}}{134}.$ $B.~\frac34.$ $C.~\frac{3\sqrt{13}4}{134}.$ $D.~\frac12$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2.0 điểm),Câu 1. Cho F ()) là một nguyên hàm của $f(x)=-2x+3.$ Xét tính đúng-sai của các khẩ,$a)~F^\prime(x)=-2x.$,$b)~\int^2_{-1}(-2x+3)~dx=F(2)-F(-1).$,$c)~F(x)=-x^2+3x+C.$,$d)~\int^{-5}_{-9}f(x)dx=52.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x+2y-z-2=0.$ Xét 1,của các khẳng định sau:,$a)~\overrightarrow n=(-2;-4;2)$ là một véctơ pháp tuyến của $(\alpha).$,b) Điểm $A(3;-3;-5)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha).$,c) Khoảng cách từ điểm $B(7;-1;-4)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng $\frac{7\sqrt6}6.$,d) Khoảng cách giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(R):~2x+4y-2z+2=0$ bằng $\frac{\sqrt6}2.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2.0 điểm),Câu 1. Kết quả của tích phân $I=\int^3_0\frac{e^{2x-3}}3.dx$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 2. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=6.$ biết rằng khi cắt vật thì,bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ a $x~(0\leq x\leq6)$ thì được thiết diện là một,hình chữ nhật có hai cạnh là 6x và $x^2-x.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) có phương trình $x-2y+7z+3=0.$ Mặt phẳng (P),đi qua điểm $E(3;-3;-2)$ và song song với (R) có phương trình dạng $x+ay+bz+c=0.$ Tính $S=a+$,$b+c.$,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;5;-5).$ Biết $G(a;b;c)$ là điểm đối xứng với điểm,phẳng (oyz). Tính $P=abc.$,PHẦN IV. Tự luận (3.0 điểm),Câu 1. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x tấn sản phẩm Z trong,một tháng. Khi đó, đạo hàm C'(x), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản,phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi,công thức $C^\prime(x)=11-0,10x+0,00050x^2$ với $0\leq x\leq101.$ Biết rằng $G(0)=20$ triệu đồng, gọi là chỉ,phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 93 tấn sản phẩm Z trong tháng (kết quả làm tròn đến,hàng đơn vị).,Câu 2. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang,như hình sau. Tính diện tích của cửa hầm.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/5debfaa9cc9843fcbcc31f2a789009a0.jpg />,2

Accepted Answer

Câu 1.
a) Sai vì $F'(x) = f(x) = -2x + 3$

b) Đúng vì $\int^2_{-1}(-2x+3)~dx = F(2) - F(-1)$

c) Đúng vì $F(x) = -x^2 + 3x + C$

d) Đúng vì $\int^{-5}_{-9}f(x)dx = \left[-x^2 + 3x\right]^{-5}_{-9} = 52$

Câu 2.
a) Ta thấy $\overrightarrow{n}=(-2;-4;2)=2\times (-1;-2;1)$ nên $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha).$
b) Thay tọa độ điểm $A(3;-3;-5)$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ ta được $3+2\times (-3)-(-5)-2=0$ nên điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(\alpha).$
c) Khoảng cách từ điểm $B(7;-1;-4)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ là $d(B,(\alpha))=\frac{|7+2\times (-1)-(-4)-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{7}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}.$
d) Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x+2y-z-2=0$ và mặt phẳng $(R)$ có phương trình $x+2y-z+1=0$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(R)$ là $d((\alpha),(R))=\frac{|-2-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Câu 1.
Để tính tích phân $I=\int^3_0\frac{e^{2x-3}}3.dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{e^{2x-3}}{3}$.
Ta thấy rằng $\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{2x-3}}{6}\right) = \frac{e^{2x-3}}{3}$. Do đó, hàm nguyên của $\frac{e^{2x-3}}{3}$ là $\frac{e^{2x-3}}{6}$.

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định.
$$ I = \left[\frac{e^{2x-3}}{6}\right]^3_0 $$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào hàm nguyên.
$$ I = \frac{e^{2(3)-3}}{6} - \frac{e^{2(0)-3}}{6} $$
$$ I = \frac{e^{6-3}}{6} - \frac{e^{-3}}{6} $$
$$ I = \frac{e^3}{6} - \frac{e^{-3}}{6} $$

Bước 4: Tính giá trị cụ thể của biểu thức trên.
$$ e^3 \approx 20.0855 $$
$$ e^{-3} \approx 0.0498 $$

Do đó:
$$ I = \frac{20.0855}{6} - \frac{0.0498}{6} $$
$$ I = 3.3476 - 0.0083 $$
$$ I \approx 3.3393 $$

Bước 5: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
$$ I \approx 3.34 $$

Vậy kết quả của tích phân $I=\int^3_0\frac{e^{2x-3}}3.dx$ là 3.34 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2.
Diện tích thiết diện là $S(x)=6x(x^2-x)=6x^3-6x^2$. 
Thể tích vật thể là $V=\int_{0}^{6}S(x)dx=\int_{0}^{6}(6x^3-6x^2)dx=(\frac{3}{2}x^4-2x^3)|_{0}^{6}=2592$.

Câu 3.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $E(3;-3;-2)$ và song song với mặt phẳng (R) có phương trình $x-2y+7z+3=0$.

Phương trình của mặt phẳng (P) sẽ có dạng:

$$ x - 2y + 7z + d = 0 $$

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm $E(3; -3; -2)$, ta thay tọa độ của điểm E vào phương trình trên để tìm giá trị của d:

$$ 3 - 2(-3) + 7(-2) + d = 0 $$
$$ 3 + 6 - 14 + d = 0 $$
$$ -5 + d = 0 $$
$$ d = 5 $$

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

$$ x - 2y + 7z + 5 = 0 $$

So sánh với phương trình dạng $x + ay + bz + c = 0$, ta có:

$$ a = -2, \quad b = 7, \quad c = 5 $$

Tính tổng $S = a + b + c$:

$$ S = -2 + 7 + 5 = 10 $$

Đáp số: $S = 10$

Câu 4.
Điểm $G(a;b;c)$ là điểm đối xứng với điểm $A(1;5;-5)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $G(-1;5;-5).$
Suy ra $a=-1,b=5,c=-5.$
Vậy $P=abc=(-1)\times 5\times (-5)=25.$

Câu 1.
Để tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 93 tấn sản phẩm Z trong tháng, ta cần tìm hàm tổng chi phí $ C(x) $ từ đạo hàm $ C'(x) $.

Bước 1: Tìm hàm tổng chi phí $ C(x) $.

Ta có:
$$ C'(x) = 11 - 0,10x + 0,00050x^2 $$

Tích phân hai vế để tìm $ C(x) $:
$$ C(x) = \int (11 - 0,10x + 0,00050x^2) \, dx $$
$$ C(x) = 11x - 0,05x^2 + \frac{0,00050}{3}x^3 + C $$
$$ C(x) = 11x - 0,05x^2 + 0,00016667x^3 + C $$

Biết rằng $ C(0) = 20 $ triệu đồng, ta thay vào để tìm hằng số $ C $:
$$ C(0) = 11(0) - 0,05(0)^2 + 0,00016667(0)^3 + C = 20 $$
$$ C = 20 $$

Vậy hàm tổng chi phí là:
$$ C(x) = 11x - 0,05x^2 + 0,00016667x^3 + 20 $$

Bước 2: Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 93 tấn sản phẩm Z trong tháng.

Thay $ x = 93 $ vào hàm $ C(x) $:
$$ C(93) = 11(93) - 0,05(93)^2 + 0,00016667(93)^3 + 20 $$
$$ C(93) = 1023 - 0,05(8649) + 0,00016667(804357) + 20 $$
$$ C(93) = 1023 - 432,45 + 134,0595 + 20 $$
$$ C(93) = 744,6095 $$

Làm tròn đến hàng đơn vị:
$$ C(93) \approx 745 $$

Vậy tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 93 tấn sản phẩm Z trong tháng là 745 triệu đồng.

Câu 2.
Để tính diện tích của cửa hầm, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích giữa hai đồ thị.

Bước 1: Xác định phương trình của parabol và đường thẳng

Parabol có đỉnh tại điểm (0, 0) và đi qua điểm (3, -2). Ta có phương trình parabol có dạng:
$$ y = ax^2 $$

Thay tọa độ điểm (3, -2) vào phương trình:
$$ -2 = a(3)^2 $$
$$ -2 = 9a $$
$$ a = -\frac{2}{9} $$

Vậy phương trình của parabol là:
$$ y = -\frac{2}{9}x^2 $$

Đường thẳng nằm ngang đi qua điểm (3, -2) và (-3, -2), nên phương trình của đường thẳng là:
$$ y = -2 $$

Bước 2: Xác định khoảng tích phân

Diện tích cần tính nằm giữa hai đường từ x = -3 đến x = 3.

Bước 3: Tính diện tích bằng phương pháp tích phân

Diện tích S giữa hai đồ thị từ x = -3 đến x = 3 là:
$$ S = \int_{-3}^{3} \left[(-2) - \left(-\frac{2}{9}x^2\right)\right] dx $$
$$ S = \int_{-3}^{3} \left(-2 + \frac{2}{9}x^2\right) dx $$

Tính tích phân từng phần:
$$ S = \int_{-3}^{3} -2 \, dx + \int_{-3}^{3} \frac{2}{9}x^2 \, dx $$

Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{-3}^{3} -2 \, dx = -2x \Big|_{-3}^{3} = -2(3) - (-2(-3)) = -6 - 6 = -12 $$

$$ \int_{-3}^{3} \frac{2}{9}x^2 \, dx = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{-3}^{3} = \frac{2}{27}x^3 \Big|_{-3}^{3} = \frac{2}{27}(3^3) - \frac{2}{27}((-3)^3) = \frac{2}{27}(27) - \frac{2}{27}(-27) = 2 + 2 = 4 $$

Vậy diện tích S là:
$$ S = -12 + 4 = 8 $$

Đáp số: Diện tích của cửa hầm là 8 đơn vị diện tích.