Biết F (x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Giá trị của fỉ [4 + f (x)]ax bằng

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} [4 + f(x)] \, dx$.

Trước tiên, ta biết rằng $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Điều này có nghĩa là $f(x) = F'(x)$. Ta tính đạo hàm của $F(x)$:

$$ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $$

Vậy $f(x) = 3x^2$.

Bây giờ, ta cần tính tích phân $\int_{0}^{1} [4 + f(x)] \, dx$. Thay $f(x) = 3x^2$ vào biểu thức, ta có:

$$ \int_{0}^{1} [4 + 3x^2] \, dx $$

Ta tách tích phân thành hai phần:

$$ \int_{0}^{1} 4 \, dx + \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx $$

Tính từng phần riêng lẻ:

1. Tích phân $\int_{0}^{1} 4 \, dx$:
$$ \int_{0}^{1} 4 \, dx = 4 \int_{0}^{1} 1 \, dx = 4[x]_{0}^{1} = 4(1 - 0) = 4 $$

2. Tích phân $\int_{0}^{1} 3x^2 \, dx$:
$$ \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx = 3 \int_{0}^{1} x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 3 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{3} \right) = 1 $$

Cộng lại hai kết quả:

$$ 4 + 1 = 5 $$

Vậy giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} [4 + f(x)] \, dx$ là 5.

Đáp số: 5