Tìm đáp án đúng và viết ra cách giải

Câu 1. Để xác định điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, ta cần tìm điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ âm sang dương. Điều này tương ứng với điểm mà đồ thị chuyển từ giảm sang tăng. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ trái qua phải, hàm số giảm từ vô cùng đến điểm $(1; -4)$. - Tại điểm $(1; -4)$, hàm số bắt đầu tăng. Do đó, điểm $(1; -4)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: D. $(1; -4)$. Câu 2. Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 1}{2x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x + 1}{2x - 2} \) có mẫu số là \( 2x - 2 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ 2x - 2 \neq 0 \implies x \neq 1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \neq 1 \). 2. Xác định tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{f(x)}{g(x)} \) là các giá trị \( x \) làm cho mẫu số \( g(x) \) bằng 0 (nếu tử số \( f(x) \) không bằng 0 tại những điểm đó). Trong trường hợp này, mẫu số \( 2x - 2 \) bằng 0 khi \( x = 1 \). Ta kiểm tra tử số \( x + 1 \) tại \( x = 1 \): \[ x + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0 \] Vì vậy, \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của hàm số. Do đó, đáp án đúng là: D. \( x = 1 \) Đáp án: D. \( x = 1 \) Câu 3. Để giải phương trình $\log_2(x-1)=3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x - 1 > 0 \implies x > 1 \] Bước 2: Giải phương trình: \[ \log_2(x-1) = 3 \] Điều này có nghĩa là: \[ x - 1 = 2^3 \] Tính giá trị bên phải: \[ x - 1 = 8 \] Giải phương trình này: \[ x = 8 + 1 \] \[ x = 9 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 9 > 1 \] Do đó, \( x = 9 \) thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 9 \). Đáp án đúng là: C. \( x = 9 \). Câu 4. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) = \sqrt{4 - x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{4 - x^2} \) có nghĩa là \( 4 - x^2 \geq 0 \). Giải bất phương trình này: \[ 4 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2 \] Vậy miền xác định của hàm số là \( [-2, 2] \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 - x^2} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{4 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} \] 3. Xác định điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \implies \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \implies x = 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực trị. 4. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \[ y = \sqrt{4 - (-2)^2} = \sqrt{4 - 4} = 0 \] - Tại \( x = 0 \): \[ y = \sqrt{4 - 0^2} = \sqrt{4} = 2 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y = \sqrt{4 - 2^2} = \sqrt{4 - 4} = 0 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: - \( y(-2) = 0 \) - \( y(0) = 2 \) - \( y(2) = 0 \) Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là 2. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sqrt{4 - x^2} \) là 2, đạt được khi \( x = 0 \). Đáp án đúng là: C. 2. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x-1}{x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức hàm số: \[ f(x) = \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x + C_1 \) - Nguyên hàm của \( -\frac{1}{x} \) là \( -\ln|x| + C_2 \) Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx = x - \ln|x| + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân tổng quát. Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x-1}{x} \) là: \[ x - \ln|x| + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( x - \ln|x| + C \). Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình thang \(ABCD\) với \(AB // CD\) và \(CD = 24B\), điều này có nghĩa là đoạn thẳng \(CD\) dài gấp đôi đoạn thẳng \(AB\). Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}\) - Điều này đúng vì \(CD\) dài gấp đôi \(AB\), do đó vector \(\overrightarrow{CD}\) cũng sẽ gấp đôi vector \(\overrightarrow{AB}\). B. \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}\) - Điều này sai vì \(AB\) không dài gấp đôi \(CD\), mà ngược lại \(CD\) dài gấp đôi \(AB\). C. \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{BA}\) - Điều này sai vì \(\overrightarrow{BA}\) là vector ngược chiều với \(\overrightarrow{AB}\). Do đó, \(\overrightarrow{CD}\) không thể bằng 2 lần \(\overrightarrow{BA}\). D. \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{DC}\) - Điều này sai vì \(\overrightarrow{DC}\) là vector ngược chiều với \(\overrightarrow{CD}\). Do đó, \(\overrightarrow{AB}\) không thể bằng 2 lần \(\overrightarrow{DC}\). Vậy khẳng định đúng là: A. \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}\) Đáp án: A. \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}\) Câu 7. Cấp số cộng $(u_i)$ có $u_1=3$ và công sai $d=4$. Ta cần tìm giá trị của $A = u_3$. Bước 1: Xác định công thức của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Bước 2: Thay các giá trị vào công thức để tìm $u_3$: \[ u_3 = u_1 + (3-1)d \] \[ u_3 = 3 + 2 \times 4 \] \[ u_3 = 3 + 8 \] \[ u_3 = 11 \] Vậy giá trị của $A = u_3$ là 11. Đáp án đúng là: D. 11. Câu 8. Độ dài của vectơ $\overrightarrow a=(1;-1;2)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}. \] Vậy độ dài của $\overrightarrow a$ là $\sqrt{6}$. Đáp án đúng là: A. $\sqrt{6}$. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABCD)\). 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương \(ABCD - A'B'C'D'\). - \(A(0, 0, 0)\), \(C'(1, 1, 1)\) (giả sử cạnh lập phương là 1 đơn vị). - Vectơ \(AC' = (1, 1, 1)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\): - Mặt phẳng \((ABCD)\) nằm trong mặt phẳng \(z = 0\), do đó vectơ pháp tuyến của nó là \(n = (0, 0, 1)\). 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc giữa vectơ \(AC'\) và vectơ pháp tuyến \(n\). - Ta có: \[ \cos \theta = \frac{|AC' \cdot n|}{|AC'| |n|} \] \[ AC' \cdot n = (1, 1, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1 \] \[ |AC'| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] \[ |n| = 1 \] \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 4. Tính giá trị của \(\tan \theta\): - Biết rằng \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\): \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] - Vậy: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2} \] Do đó, giá trị của \(\tan \theta\) là \(\sqrt{2}\). Đáp án đúng là: D. \(\sqrt{2}\). Câu 10. Ta có: \[ \int^2_1 f(x) dx = \int^2_3 f(x) dx + \int^3_1 f(x) dx \] Biết rằng: \[ \int^2_3 f(x) dx = 26 \] và \[ \int^3_1 f(x) dx = 19 \] Do đó: \[ \int^2_1 f(x) dx = 26 + 19 = 45 \] Vậy giá trị của $\int^2_1 f(x) dx$ là 45. Đáp án đúng là: A. 45. Câu 11. Mặt phẳng $(P):~3x-y-z+2=0$ có dạng tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $a = 3$, $b = -1$, $c = -1$, và $d = 2$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (3, -1, -1)$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{n} = (3, -1, -1)$. Câu 12. Để tìm mốt của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm, ta cần xác định nhóm có tần số lớn nhất và sử dụng công thức mốt cho dữ liệu ghép nhóm. Mẫu số liệu A: - Nhóm có tần số lớn nhất là [180; 200) với tần số 22. - Giới hạn dưới của nhóm này là 180. - Chiều rộng của nhóm là 20 (200 - 180). Công thức mốt cho dữ liệu ghép nhóm: \[ M_0 = l + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times w \] Trong đó: - \( l \) là giới hạn dưới của nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_m \) là tần số của nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_{m-1} \) là tần số của nhóm liền trước nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_{m+1} \) là tần số của nhóm liền sau nhóm có tần số lớn nhất. - \( w \) là chiều rộng của nhóm. Áp dụng vào mẫu số liệu A: - \( l = 180 \) - \( f_m = 22 \) - \( f_{m-1} = 14 \) - \( f_{m+1} = 8 \) - \( w = 20 \) \[ M^A_0 = 180 + \left( \frac{22 - 14}{(22 - 14) + (22 - 8)} \right) \times 20 \] \[ M^A_0 = 180 + \left( \frac{8}{8 + 14} \right) \times 20 \] \[ M^A_0 = 180 + \left( \frac{8}{22} \right) \times 20 \] \[ M^A_0 = 180 + \frac{160}{22} \] \[ M^A_0 = 180 + 7.27 \] \[ M^A_0 \approx 187.27 \] Mẫu số liệu B: - Nhóm có tần số lớn nhất là [18; 20) với tần số 11. - Giới hạn dưới của nhóm này là 18. - Chiều rộng của nhóm là 2 (20 - 18). Áp dụng vào mẫu số liệu B: - \( l = 18 \) - \( f_m = 11 \) - \( f_{m-1} = 7 \) - \( f_{m+1} = 4 \) - \( w = 2 \) \[ M^B_0 = 18 + \left( \frac{11 - 7}{(11 - 7) + (11 - 4)} \right) \times 2 \] \[ M^B_0 = 18 + \left( \frac{4}{4 + 7} \right) \times 2 \] \[ M^B_0 = 18 + \left( \frac{4}{11} \right) \times 2 \] \[ M^B_0 = 18 + \frac{8}{11} \] \[ M^B_0 \approx 18 + 0.73 \] \[ M^B_0 \approx 18.73 \] Kiểm tra các phát biểu: A. \( M^A_0 = 2M^B_0 \) \[ 187.27 \neq 2 \times 18.73 \] B. \( M^A_0 = 10M^B_0 \) \[ 187.27 \neq 10 \times 18.73 \] C. \( M^A_0 = 20M^B_0 \) \[ 187.27 \neq 20 \times 18.73 \] D. \( M^A_0 = M^B_0 + 144 \) \[ 187.27 = 18.73 + 144 \] Phát biểu đúng là: \[ \boxed{D. M^A_0 = M^B_0 + 144} \]