Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a√3 ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) .Gọi H,K lần lượt là trung điểm AB và CD.
1)Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SHKC.
2)Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Question

Accepted Answer

1) Xét $ riangle S A B$ đều cạnh $a$ có:
$H$ là trung điếm $A B$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}H A=H B=\frac{1}{2} A B=a \S H \perp A B \S H=a \sqrt{3}\end{array} ight.$
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
(S A B) \perp(A B C D) \quad(g t) \
(S A B) \cap(A B C D)=A B \
S H \perp A B \quad(c m t) \
S H \subset(S A B)
\end{array} ight. \
& \Rightarrow S H \perp(A B C D) \
& \Rightarrow S H \perp H C \
& \Rightarrow riangle S H C ext { vuông tại } H
\end{aligned}
$$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$$
\begin{aligned}
S C^2 & =S H^2+H C^2 \
& =S H^2+H B^2+B C^2 \
& =(a \sqrt{3})^2+a^2+(2 a \sqrt{3})^2 \
& =16 a^2 \
\Rightarrow S C & =4 a
\end{aligned}
$$
Gọi $I$ là trung điếm $S C$

$\Rightarrow I S=I C=I H=\frac{1}{2} S C=2 a$
Mặt khác:
$H K$ là đường trung bình của $A B C D$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow H K / / B C / / A D \
& \Rightarrow C D \perp H K
\end{aligned}
$$

Lại có: $S H \perp C D \quad(S H \perp(A B C D))$
$\Rightarrow C D \perp(S H K)$
$\Rightarrow C D \perp S K$
$\Rightarrow riangle S K C$ vuông tại $K$
mà $I$ là trung điếm cạnh huyền $S C$
nên $I S=I C=I K=\frac{1}{2} S C=2 a$

Từ $(1)(2) \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S . H K C$, bán kính $R=\frac{1}{2} S C=2 a$ Khi đó, thể tích mặt cầu:

$$
\begin{aligned}
V & =\frac{4}{3} \pi R^3 \
& =\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot(2 a)^3 \
& =\frac{32 \pi a^3}{3}
\end{aligned}
$$
2) Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
B C \perp A B \
S H \perp B C
\end{array} ight. \
& \Rightarrow B C \perp(S A B) \
& \Rightarrow H K \perp(S A B)
\end{aligned}
$$

Gọi $G$ là trọng tâm $ riangle S A B$
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ riangle S A B$

$\Rightarrow S A=S B=S C=\frac{2}{3} S H=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Từ $G$ kẻ đường thẳng $d \perp(S A B)$
$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp $S . A B C$

$\Rightarrow d / / H K$

Trong $m p(S H K), d$ căt $S K$ tại $P$
Gọi $M$ là trung điểm $B C$

$\Rightarrow M B=M C=\frac{1}{2} B C=a \sqrt{3}$

Trong $m p(B C P G)$, đường trung trực của $B C$ cẳt $d$ tại $J$
$\Rightarrow J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S . A B C$
Ta có:

$$\begin{cases}B C \perp B G & (B C \perp(S A B)) \ B C \perp J M & ( ext { cách dựng })\end{cases}$$
$\Rightarrow J M / / B G$

Lại có: $G J / / B M \quad(d / / B C)$
Do đó: $B M J G$ là hình bình hành

$\Rightarrow G J=B M=a \sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$$
\begin{aligned}
R^2 & =J B^2=G J^2+B G^2 \
& =(a \sqrt{3})^2+\left(\frac{2 a \sqrt{3}}{3} ight)^2 \
& =\frac{13 a^2}{3}
\end{aligned}
$$

Khi đó, diện tích mặt cầu:

$$
\begin{aligned}
S & =4 \pi R^2 \
& =4 \cdot \pi \cdot \frac{13 a^2}{3} \
& =\frac{52 \pi a^2}{3}
\end{aligned}
$$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a√3 ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) .Gọi H,K lần lượt là trung điểm AB và CD. 1)Xác định tâm và tính thể...