eksosjsjakakj

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng tích phân từ một điểm đến chính nó sẽ luôn bằng 0. Do đó, $\int^2_2 f(x) dx = 0$. Tuy nhiên, trong đề bài đã cho $\int^2_2 f(x) dx = 2$, điều này mâu thuẫn với tính chất cơ bản của tích phân. Vì vậy, có thể giả định rằng đề bài đã đưa ra một thông tin sai lệch hoặc không chính xác. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng đề bài đã đưa ra một thông tin sai lệch và tiếp tục giải bài toán dựa trên các kiến thức tích phân cơ bản, chúng ta có thể làm như sau: Ta cần tính $\int^1_2 3f(x) dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^1_2 3f(x) dx = 3 \int^1_2 f(x) dx \] Bây giờ, ta cần biết giá trị của $\int^1_2 f(x) dx$. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp thông tin về $\int^1_2 f(x) dx$. Do đó, chúng ta không thể tính toán chính xác giá trị của $\int^1_2 3f(x) dx$ dựa trên thông tin đã cho. Do đó, câu trả lời chính xác là không thể xác định giá trị của $\int^1_2 3f(x) dx$ dựa trên thông tin đã cho. Đáp án: Không thể xác định. Câu 2. Để xác định mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng $(P):~2x+y-2z+4=0$, ta cần kiểm tra xem vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng có vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ hay không. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, -2)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: A. Mặt phẳng $x + 3y - z + 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_A = (1, 3, -1)$. Tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_A$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_A = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 2 + 3 + 2 = 7 \neq 0 \] Vậy mặt phẳng này không vuông góc với $(P)$. B. Mặt phẳng $x + 2y + 2z - 5 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_B = (1, 2, 2)$. Tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_B$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_B = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0 \] Vậy mặt phẳng này vuông góc với $(P)$. C. Mặt phẳng $x + y + z - 6 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_C = (1, 1, 1)$. Tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_C$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_C = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 = 2 + 1 - 2 = 1 \neq 0 \] Vậy mặt phẳng này không vuông góc với $(P)$. D. Mặt phẳng $2x + y - 2z + 5 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_D = (2, 1, -2)$. Tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_D$ là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_D = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) = 4 + 1 + 4 = 9 \neq 0 \] Vậy mặt phẳng này không vuông góc với $(P)$. Do đó, mặt phẳng vuông góc với $(P)$ là: \[ \boxed{B.~x + 2y + 2z - 5 = 0} \] Câu 3. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1; -1; 2) \) và có véctơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (4; 2; -6) \) có dạng: \[ 4(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 2) = 0 \] Ta sẽ thực hiện phép nhân và giản ước từng thành phần: \[ 4x - 4 + 2y + 2 - 6z + 12 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ 4x + 2y - 6z + 10 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 2x + y - 3z + 5 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + y - 3z + 5 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( 2x + y - 3z + 5 = 0 \). Câu 4. Khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,~x=b$ quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Giải thích: - $[f(x)]^2$ là diện tích của một vòng tròn nhỏ với bán kính $f(x)$ tại mỗi điểm $x$ trên đoạn $[a; b]$. - $\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ là tổng diện tích của tất cả các vòng tròn nhỏ này dọc theo đoạn $[a; b]$. - Nhân với $\pi$ để tính thể tích của khối tròn xoay. Do đó, đáp án đúng là: C. $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$. Câu 5. Mặt phẳng $(P):~2x-2y+z-1=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2,-2,1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n}=(2,-2,1)$. Câu 6. D. $\int^b_a[f(x),g(x)]dx=\int^b_af(x)dx.\int^b_a g(x)dx.$ Lập luận từng bước: - A. $\int^a_b f(x) dx = 0$ là mệnh đề đúng nếu $f(x)$ là hàm chẵn và tích phân từ $-a$ đến $a$ hoặc nếu $f(x)$ là hàm lẻ và tích phân từ $-a$ đến $a$. Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về tính chất của $f(x)$ nên không thể khẳng định chắc chắn. - B. $\int^b_a [f(x) + g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx + \int^b_a g(x) dx$ là mệnh đề đúng theo tính chất tuyến tính của tích phân. - C. $\int^b_a f(x) dx = -\int^a_b f(x) dx$ là mệnh đề đúng do tính chất đối xứng của tích phân. - D. $\int^b_a [f(x) \cdot g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx \cdot \int^b_a g(x) dx$ là mệnh đề sai vì tích phân của tích hai hàm không bằng tích của các tích phân của chúng. Do đó, mệnh đề sai là D.