cho các số thực dương x;y;z thoả mãn xy+yz+zx=28 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2025.P biết P=$\frac{5x+5y+5z}{\sqrt[]{12\left(x^2+28\right)}+\sqrt[\placeholder{}]{12\left(y^2+28\right)}+\sqrt[\placeholder{}]{z^2+28}}$

Question

cho các số thực dương x;y;z thoả mãn xy+yz+zx=28                                                                                                           tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2025.P biết P=$\frac{5x+5y+5z}{\sqrt[]{12\left(x^2+28\right)}+\sqrt[\placeholder{}]{12\left(y^2+28\right)}+\sqrt[\placeholder{}]{z^2+28}}$

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x > 0, y > 0, z > 0 $

Ta có:
$$ P = \frac{5(x + y + z)}{\sqrt{12(x^2 + 28)} + \sqrt{12(y^2 + 28)} + \sqrt{12(z^2 + 28)}} $$

Nhân cả tử và mẫu với 5:
$$ 2025P = \frac{25(x + y + z)}{\sqrt{12(x^2 + 28)} + \sqrt{12(y^2 + 28)} + \sqrt{12(z^2 + 28)}} $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ \left( \sqrt{12(x^2 + 28)} + \sqrt{12(y^2 + 28)} + \sqrt{12(z^2 + 28)} \right)^2 \leq 3 \left( 12(x^2 + 28) + 12(y^2 + 28) + 12(z^2 + 28) \right) $$
$$ = 36(x^2 + y^2 + z^2 + 84) $$

Do đó:
$$ \sqrt{12(x^2 + 28)} + \sqrt{12(y^2 + 28)} + \sqrt{12(z^2 + 28)} \leq 6 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 84} $$

Ta có:
$$ 2025P \geq \frac{25(x + y + z)}{6 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 84}} $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx = 28 $$

Do đó:
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 84 \geq 28 + 84 = 112 $$

Vậy:
$$ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 84} \geq \sqrt{112} = 4\sqrt{7} $$

Do đó:
$$ 2025P \geq \frac{25(x + y + z)}{6 \cdot 4\sqrt{7}} = \frac{25(x + y + z)}{24\sqrt{7}} $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} $$

Vì $ xy + yz + zx = 28 $, ta có:
$$ xyz \leq \left( \frac{x + y + z}{3} \right)^3 $$

Do đó:
$$ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} \geq 3 \sqrt[3]{\left( \frac{28}{3} \right)^3} = 3 \cdot \frac{28}{3} = 28 $$

Vậy:
$$ 2025P \geq \frac{25 \cdot 28}{24\sqrt{7}} = \frac{700}{24\sqrt{7}} = \frac{175}{6\sqrt{7}} = \frac{175\sqrt{7}}{42} = \frac{25\sqrt{7}}{6} $$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ 2025P $ là $ \frac{25\sqrt{7}}{6} $, đạt được khi $ x = y = z = \frac{28}{3} $.

Đáp số: $ \frac{25\sqrt{7}}{6} $

cho các số thực dương x;y;z thoả mãn xy+yz+zx=28 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2025.P biết P=...