Giải giúp ạ Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$,mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ,hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8),$ chuyển động theo,đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu,(Hình 44).,,Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.

Question

Giải giúp ạ Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$,mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ,hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8),$ chuyển động theo,đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu,(Hình 44).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b027f5568975439c87e58c3f38a926c1.jpg />,Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.

Accepted Answer

Câu 2:
Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình đường thẳng d:

   Đường thẳng d đi qua điểm A(-688, -185, 8) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng d là:
   $$
   \begin{cases}
   x = -688 + 91t \
   y = -185 + 75t \
   z = 8
   \end{cases}
   $$

2. Xác định khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:

   Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Khoảng cách này được tính bằng cách tìm độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm O xuống đường thẳng d.

   Vectơ OA là:
   $$
   \overrightarrow{OA} = (-688, -185, 8)
   $$

   Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
   $$
   \overrightarrow{u} = (91, 75, 0)
   $$

   Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{u}$:
   $$
   \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{u} = (-688) \times 91 + (-185) \times 75 + 8 \times 0 = -62648 - 13875 = -76523
   $$

   Độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
   $$
   |\overrightarrow{u}| = \sqrt{91^2 + 75^2 + 0^2} = \sqrt{8281 + 5625} = \sqrt{13906} = 117.92
   $$

   Độ dài đoạn vuông góc từ điểm O đến đường thẳng d là:
   $$
   d = \frac{|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{u}|}
   $$

   Ta tính vectơ tích $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}$:
   $$
   \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   -688 & -185 & 8 \
   91 & 75 & 0
   \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-185) \times 0 - 8 \times 75) - \mathbf{j}((-688) \times 0 - 8 \times 91) + \mathbf{k}((-688) \times 75 - (-185) \times 91)
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(0 - 600) - \mathbf{j}(0 - 728) + \mathbf{k}(-51600 + 16835)
   $$
   $$
   = -600\mathbf{i} + 728\mathbf{j} - 34765\mathbf{k}
   $$

   Độ dài vectơ $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}$ là:
   $$
   |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{u}| = \sqrt{(-600)^2 + 728^2 + (-34765)^2} = \sqrt{360000 + 530304 + 1208605225} = \sqrt{1209495529} = 34777.7
   $$

   Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là:
   $$
   d = \frac{34777.7}{117.92} = 294.99 \approx 295 \text{ km}
   $$

3. Kết luận:

   Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 295 km.