Cho tam giác ABC có A(1;2),B(3;5) và C(-1;4).Tính độ dài đường cao AH(Tính bằng cách phương trình tổng quát)

Question

Accepted Answer

Để tính độ dài đường cao $AH$ của tam giác $ABC$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng $BC$:
   - Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$:
     $$
     \overrightarrow{BC} = (-1 - 3, 4 - 5) = (-4, -1)
     $$
     Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$ là $\vec{n} = (-4, -1)$.

- Phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(3, 5)$ là:
     $$
     -4(x - 3) - 1(y - 5) = 0
     $$
     $$
     -4x + 12 - y + 5 = 0
     $$
     $$
     -4x - y + 17 = 0
     $$

2. Tìm phương trình đường thẳng $AH$:
   - Đường thẳng $AH$ vuông góc với đường thẳng $BC$, do đó vectơ pháp tuyến của $AH$ là $(1, -4)$.

- Phương trình tổng quát của đường thẳng $AH$ đi qua điểm $A(1, 2)$ là:
     $$
     1(x - 1) - 4(y - 2) = 0
     $$
     $$
     x - 1 - 4y + 8 = 0
     $$
     $$
     x - 4y + 7 = 0
     $$

3. Tìm tọa độ giao điểm $H$ của đường thẳng $BC$ và đường thẳng $AH$:
   - Giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     -4x - y + 17 = 0 \
     x - 4y + 7 = 0
     \end{cases}
     $$

- Từ phương trình thứ hai, ta có:
     $$
     x = 4y - 7
     $$

- Thay vào phương trình thứ nhất:
     $$
     -4(4y - 7) - y + 17 = 0
     $$
     $$
     -16y + 28 - y + 17 = 0
     $$
     $$
     -17y + 45 = 0
     $$
     $$
     y = \frac{45}{17}
     $$

- Thay $y = \frac{45}{17}$ vào $x = 4y - 7$:
     $$
     x = 4 \left(\frac{45}{17}\right) - 7
     $$
     $$
     x = \frac{180}{17} - \frac{119}{17}
     $$
     $$
     x = \frac{61}{17}
     $$

Vậy tọa độ giao điểm $H$ là $\left(\frac{61}{17}, \frac{45}{17}\right)$.

4. Tính độ dài đoạn thẳng $AH$:
   - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
     $$
     AH = \sqrt{\left(1 - \frac{61}{17}\right)^2 + \left(2 - \frac{45}{17}\right)^2}
     $$
     $$
     AH = \sqrt{\left(\frac{17 - 61}{17}\right)^2 + \left(\frac{34 - 45}{17}\right)^2}
     $$
     $$
     AH = \sqrt{\left(\frac{-44}{17}\right)^2 + \left(\frac{-11}{17}\right)^2}
     $$
     $$
     AH = \sqrt{\frac{1936}{289} + \frac{121}{289}}
     $$
     $$
     AH = \sqrt{\frac{2057}{289}}
     $$
     $$
     AH = \frac{\sqrt{2057}}{17}
     $$

Vậy độ dài đường cao $AH$ là $\frac{\sqrt{2057}}{17}$.