5/3/3 Giúp mình với! 3) Cho phương trình: $x^2-2x+m+1=0$ (m là tham số).,Biết phương trình có một nghiệm là $x=-4.$ Tính tổng lập phương hai nghiệm của,phương trình.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của tham số $ m $ sao cho phương trình có nghiệm $ x = -4 $.
2. Tìm nghiệm còn lại của phương trình.
3. Tính tổng lập phương của hai nghiệm.

Bước 1: Tìm giá trị của $ m $

Thay $ x = -4 $ vào phương trình $ x^2 - 2x + m + 1 = 0 $:

$$ (-4)^2 - 2(-4) + m + 1 = 0 $$
$$ 16 + 8 + m + 1 = 0 $$
$$ 25 + m = 0 $$
$$ m = -25 $$

Bước 2: Tìm nghiệm còn lại của phương trình

Thay $ m = -25 $ vào phương trình ban đầu:

$$ x^2 - 2x - 25 + 1 = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 24 = 0 $$

Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $, với $ a = 1 $, $ b = -2 $, và $ c = -24 $. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm 10}{2} $$

Do đó, hai nghiệm là:

$$ x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6 $$
$$ x_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4 $$

Bước 3: Tính tổng lập phương của hai nghiệm

Tổng lập phương của hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $ là:

$$ x_1^3 + x_2^3 = 6^3 + (-4)^3 $$
$$ = 216 - 64 $$
$$ = 152 $$

Vậy tổng lập phương của hai nghiệm của phương trình là 152.