Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD (D $\in$ BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và $\frac{BE}{CF}=\frac{AB^2}{AC^2}$
b, Cho AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD (D $\in$ BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và $\frac{BE}{CF}=\frac{AB^2}{AC^2}$
b,  Cho AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)
$\widehat{AEB} = \widehat{AFD} = 90^\circ$ (vì DE và DF là đường cao hạ từ D)
$\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng bằng $\widehat{CBA}$)
Do đó $	riangle ABE \cong 	riangle ADF$ (g-g-g)
Suy ra AE = AF và BE = CF
Ta cũng có $\widehat{AED} = \widehat{AFD} = 90^\circ$ nên tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Ta có $\frac{BE}{CF} = \frac{AB^2}{AC^2}$ (theo câu a)
Thay AB = 3cm và AC = 4cm vào ta được $\frac{BE}{CF} = \frac{9}{16}$
Mà BE = CF nên BE = 9cm và CF = 16cm
Ta có BD = BE + ED = 9 + 3 = 12cm
CD = CF + FD = 16 + 3 = 19cm
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD và ACD ta có:
$AD^2 = AB^2 + BD^2 = 3^2 + 12^2 = 153$
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 4^2 + 19^2 = 377$
Từ đó suy ra $AD = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$ cm

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD (D BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC. a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và...