Giúp mình với!

Bài 13: Để tìm tiêu cự của elip $(E):\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b$. - Từ phương trình đã cho, ta thấy $a^2 = 9$ và $b^2 = 4$. Do đó, $a = 3$ và $b = 2$. 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Thay các giá trị $a$ và $b$ vào công thức: \[ c = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \] 3. Tính tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$. - Do đó, tiêu cự của elip là: \[ 2c = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \] Vậy tiêu cự của elip $(E)$ là $2\sqrt{5}$. Đáp án đúng là: $D.~2\sqrt{5}$. Bài 14: Phương trình elip $(E)$ được cho là $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$. Trong phương trình này, ta nhận thấy rằng: - $\frac{x^2}{64}$ tương ứng với $\frac{x^2}{a^2}$, do đó $a^2 = 64$ và $a = 8$. - $\frac{y^2}{16}$ tương ứng với $\frac{y^2}{b^2}$, do đó $b^2 = 16$ và $b = 4$. Elip có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Điều này cho thấy trục lớn nằm trên trục hoành và trục nhỏ nằm trên trục tung. Tọa độ các đỉnh của elip $(E)$ sẽ là: - Hai đỉnh trên trục lớn (trục hoành): $(\pm a, 0) = (\pm 8, 0)$. - Hai đỉnh trên trục nhỏ (trục tung): $(0, \pm b) = (0, \pm 4)$. Do đó, các tọa độ đỉnh của elip $(E)$ là: - $(8, 0)$ - $(-8, 0)$ - $(0, 4)$ - $(0, -4)$ Trong các đáp án được đưa ra, tọa độ đỉnh đúng là: $D.~(0; -4).$ Đáp án: $D.~(0; -4).$ Bài 15: Phương trình tiêu chuẩn của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Trong bài toán này, ta có phương trình elip $(E): \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{1} = 1$. So sánh với phương trình tiêu chuẩn, ta nhận thấy: - $a^2 = 8$ - $b^2 = 1$ Do đó: - $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $b = \sqrt{1} = 1$ Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn (trục X trong trường hợp này) và cách tâm elip một khoảng $c$, trong đó $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Ta tính $c$ như sau: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7} \] Vậy tọa độ của hai tiêu điểm là $(\pm \sqrt{7}, 0)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D. (\sqrt{7}, 0) \] Bài 16: Phương trình tiêu chuẩn của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Trong bài toán này, ta có: \[ \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{9} = 1 \] So sánh với phương trình tiêu chuẩn, ta nhận thấy: \[ a^2 = 49 \Rightarrow a = 7 \] \[ b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \] Vì $a > b$, nên trục lớn của elip nằm trên trục hoành (trục X). Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn và có tọa độ là $(\pm c, 0)$, trong đó $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Ta tính $c$ như sau: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Do đó, tọa độ của hai tiêu điểm là $(2\sqrt{10}, 0)$ và $(-2\sqrt{10}, 0)$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(2\sqrt{10}, 0) \] Bài 17: Để tìm tọa độ đỉnh của hypebol \((H):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{4}=1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của hypebol: Phương trình của hypebol đã cho là \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1\). Đây là dạng chuẩn của hypebol có trục tiêu nằm trên trục hoành (trục \(x\)). 2. Nhận biết các thông số: - \(a^2 = 25\) suy ra \(a = 5\) - \(b^2 = 4\) suy ra \(b = 2\) 3. Xác định tọa độ đỉnh: Với dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), tọa độ đỉnh của hypebol nằm trên trục \(x\) và có tọa độ là \((\pm a, 0)\). Do đó, tọa độ đỉnh của hypebol này là \((\pm 5, 0)\). 4. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: (25, 0) - Sai vì \(a = 5\), không phải 25. - Đáp án B: (-25, 0) - Sai vì \(a = 5\), không phải 25. - Đáp án C: (5, 0) - Đúng vì \(a = 5\). - Đáp án D: (0, 5) - Sai vì đỉnh nằm trên trục \(x\), không phải trục \(y\). Vậy, tọa độ đỉnh của hypebol là \((5, 0)\) và \((-5, 0)\). Đáp án đúng là: \(C.~(5;0)\) và \((-5;0)\). Bài 18: Để tìm tọa độ đỉnh của hypebol \((H):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của hypebol: Phương trình của hypebol đã cho là \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{25} = 1\). Đây là dạng chuẩn của hypebol có trục tiêu nằm trên trục hoành (trục \(x\)). 2. Nhận biết các thông số: - \(a^2 = 4\) suy ra \(a = 2\) - \(b^2 = 25\) suy ra \(b = 5\) 3. Xác định tọa độ đỉnh: Với dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), tọa độ đỉnh của hypebol nằm trên trục \(x\) và có tọa độ là \((\pm a, 0)\). Do đó, tọa độ đỉnh của hypebol này là \((\pm 2, 0)\). 4. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: (4, 0) - Sai vì \(a = 2\), không phải 4. - Đáp án B: (0, 25) - Sai vì tọa độ đỉnh nằm trên trục \(x\), không phải trục \(y\). - Đáp án C: (-2, 0) - Đúng vì tọa độ đỉnh là (\(\pm 2, 0\)). - Đáp án D: (-4, 0) - Sai vì \(a = 2\), không phải 4. Vậy, tọa độ đỉnh của hypebol là \((-2, 0)\). Đáp án đúng là: C. (-2, 0). Bài 19: Phương trình hypebol đã cho là: \[ (H): \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \] Trong phương trình này, ta nhận thấy rằng: - \(a^2 = 9\) nên \(a = 3\) - \(b^2 = 16\) nên \(b = 4\) Tiêu điểm của hypebol nằm trên trục \(x\) (vì \(a^2\) ở mẫu của \(x^2\)) và có tọa độ là \((\pm c, 0)\), trong đó \(c\) được tính theo công thức: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Thay giá trị của \(a\) và \(b\) vào công thức: \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Do đó, tọa độ của tiêu điểm là \((\pm 5, 0)\). Vậy đáp án đúng là: \[ D. (-5, 0) \] Bài 20: Để kiểm tra điểm nào thuộc hyperbol \((H): \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1\), ta lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình hyperbol và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. \(A(0;3)\): \[ \frac{0^2}{25} - \frac{3^2}{9} = 0 - 1 = -1 \neq 1 \] Do đó, điểm \(A\) không thuộc hyperbol. B. \(B(2;1)\): \[ \frac{2^2}{25} - \frac{1^2}{9} = \frac{4}{25} - \frac{1}{9} \] Tìm chung mẫu số: \[ \frac{4}{25} = \frac{4 \times 9}{25 \times 9} = \frac{36}{225}, \quad \frac{1}{9} = \frac{1 \times 25}{9 \times 25} = \frac{25}{225} \] \[ \frac{36}{225} - \frac{25}{225} = \frac{11}{225} \neq 1 \] Do đó, điểm \(B\) không thuộc hyperbol. C. \(C(5;0)\): \[ \frac{5^2}{25} - \frac{0^2}{9} = \frac{25}{25} - 0 = 1 \] Do đó, điểm \(C\) thuộc hyperbol. D. \(D(\sqrt{8};4)\): \[ \frac{(\sqrt{8})^2}{25} - \frac{4^2}{9} = \frac{8}{25} - \frac{16}{9} \] Tìm chung mẫu số: \[ \frac{8}{25} = \frac{8 \times 9}{25 \times 9} = \frac{72}{225}, \quad \frac{16}{9} = \frac{16 \times 25}{9 \times 25} = \frac{400}{225} \] \[ \frac{72}{225} - \frac{400}{225} = \frac{-328}{225} \neq 1 \] Do đó, điểm \(D\) không thuộc hyperbol. Kết luận: Điểm \(C(5;0)\) thuộc hyperbol \((H)\). Đáp án đúng là: \(C.~C(5;0)\). Bài 21: Để tìm tiêu điểm của parabol $(P): y^2 = 18x$, ta sử dụng công thức tiêu điểm của parabol dạng $y^2 = 4ax$. Trong đó: - Parabol $(P): y^2 = 18x$ có dạng $y^2 = 4ax$ với $4a = 18$. - Từ đó suy ra $a = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$. Tiêu điểm của parabol $y^2 = 4ax$ là $(a, 0)$. Do đó, tiêu điểm của parabol $(P): y^2 = 18x$ là $\left(\frac{9}{2}, 0\right)$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\left(\frac{9}{2};0\right). \] Bài 22: Đường chuẩn của parabol \( y^2 = 16x \) là đường thẳng nằm ở phía trái đỉnh của parabol, cách đỉnh một khoảng bằng khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm. Phương trình tiêu chuẩn của parabol \( y^2 = 4ax \) có tiêu điểm là \( F(a, 0) \) và đường chuẩn là \( x = -a \). Trong bài này, ta có \( y^2 = 16x \). So sánh với phương trình tiêu chuẩn \( y^2 = 4ax \), ta thấy rằng \( 4a = 16 \), suy ra \( a = 4 \). Do đó, tiêu điểm của parabol là \( F(4, 0) \) và đường chuẩn là \( x = -4 \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x = -4. \]