Giải hộ mình các câu này với các bạn

Mệnh đề,,Đúng,Szai
a),"Phương trình (C) có tâm $I(-1;-7)$ và bán kính $R=3\sqrt3$ là
$(x+1)^2+(y+7)^2=27.$",,
b),"Phương trình (C) có tâm $I(1;-5)$ và đi qua $O(0;0)$ là
$(x-1)^2+(y+5)^2=26.$",,
c),"Phương trình (C) nhận AB làm đường kính với $A(1;1),~B(7;5)$ là
$(x-4)^2+(y-3)^2=10.$",,
d),"Phương trình (C) đi qua ba điểm: $M(-2;4),N(5;5),P(6;-2)$ là
$x^2+y^2-6x-2y-20=0.$",,

,Bài 33: Cho đường tròn (C) có tâm $I(-1;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:~x-2y+7=0$,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Saii
,"$a)~d(I,\Delta)=\sqrt5.$",,
,b) Đường kính của đường tròn có độ dài bằng $\frac4{\sqrt5}.$,,
,c) Phương trình đường tròn là $(x+1)^2+(y-2)^2=5.$,,
d),"Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ
nhỏ hơn 0.",,

,Bài 34: Đường tròn (C) đi qua hai điểm $A(2;3),~B(-1;1)$ có tâm thuộc $\Delta:~x-3y-11=0.$,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
,a) | Tâm của đường tròn (C) là $I(7;-\frac43).$,,
,b) Điểm $O(0;0)$ nằm bên trong đường tròn (C).,,
,c) | Đường kí hủa aưưườngròòòn(C ằbằng 55.,,
,d) |ĐĐờờng òòòn(C đ i qua iểm $N(0;2).$,,

,Bài 35: Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ và hai điểm $A(1;-1),$,$B(1;3).$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
a),Điểm A thuộc đường tròn.,,
b),Điểm B nằm trong đường tròn.,,
c),$x=1$ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.,,
d),"Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $x=1;$
$3x+4y-12=0.$",,

Question

Giải hộ mình các câu này với các bạn

Mệnh đề,,Đúng,Szai
a),"Phương trình (C) có tâm $I(-1;-7)$ và bán kính $R=3\sqrt3$ là 
 $(x+1)^2+(y+7)^2=27.$",,
b),"Phương trình (C) có tâm $I(1;-5)$ và đi qua $O(0;0)$ là 
 $(x-1)^2+(y+5)^2=26.$",,
c),"Phương trình (C) nhận AB làm đường kính với $A(1;1),~B(7;5)$ là 
 $(x-4)^2+(y-3)^2=10.$",,
d),"Phương trình (C) đi qua ba điểm: $M(-2;4),N(5;5),P(6;-2)$ là 
 $x^2+y^2-6x-2y-20=0.$",,

,Bài 33: Cho đường tròn (C) có tâm $I(-1;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta:~x-2y+7=0$,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Saii
,"$a)~d(I,\Delta)=\sqrt5.$",,
,b) Đường kính của đường tròn có độ dài bằng $\frac4{\sqrt5}.$,,
,c) Phương trình đường tròn là $(x+1)^2+(y-2)^2=5.$,,
d),"Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ 
 nhỏ hơn 0.",,

,Bài 34: Đường tròn (C) đi qua hai điểm $A(2;3),~B(-1;1)$ có tâm thuộc $\Delta:~x-3y-11=0.$,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
,a) | Tâm của đường tròn (C) là $I(7;-\frac43).$,,
,b) Điểm $O(0;0)$ nằm bên trong đường tròn (C).,,
,c) | Đường kí hủa aưưườngròòòn(C  ằbằng 55.,,
,d) |ĐĐờờng òòòn(C đ i  qua iểm $N(0;2).$,,

,Bài 35: Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ và hai điểm $A(1;-1),$,$B(1;3).$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

Mệnh đề,,Đúng,Sai
a),Điểm A thuộc đường tròn.,,
b),Điểm B nằm trong đường tròn.,,
c),$x=1$ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.,,
d),"Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $x=1;$ 
 $3x+4y-12=0.$",,

Accepted Answer

a) Ta có phương trình đường tròn có tâm $I(-1;-7)$ và bán kính $R=3\sqrt3$ là:
$(x+1)^2+(y+7)^2=(3\sqrt3)^2$
$(x+1)^2+(y+7)^2=27$
Vậy mệnh đề đúng.

b) Ta có phương trình đường tròn có tâm $I(1;-5)$ và đi qua $O(0;0)$ là:
$(x-1)^2+(y+5)^2=R^2$
Thay tọa độ điểm $O(0;0)$ vào ta có:
$(0-1)^2+(0+5)^2=R^2$
$1+25=R^2$
$R^2=26$
Vậy phương trình đường tròn là:
$(x-1)^2+(y+5)^2=26$
Vậy mệnh đề đúng.

c) Ta có phương trình đường tròn nhận đoạn thẳng AB làm đường kính với $A(1;1), B(7;5)$ là:
Tâm đường tròn là trung điểm của AB:
$I(\frac{1+7}{2}; \frac{1+5}{2}) = I(4;3)$
Bán kính là khoảng cách từ tâm đến A hoặc B:
$R = \sqrt{(4-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
Vậy phương trình đường tròn là:
$(x-4)^2+(y-3)^2=13$
Vậy mệnh đề sai.

d) Ta có phương trình đường tròn đi qua ba điểm $M(-2;4), N(5;5), P(6;-2)$ là:
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
Thay tọa độ ba điểm vào ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
(-2)^2+4^2-a\times2+b\times4+c=0 \
5^2+5^2+a\times5+b\times5+c=0 \
6^2+(-2)^2+a\times6-b\times2+c=0
\end{cases}$
Giải hệ phương trình này ta được $a=-6$, $b=-2$, $c=-20$
Vậy phương trình đường tròn là:
$x^2+y^2-6x-2y-20=0$
Vậy mệnh đề đúng.

Bài 33:
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho về đường tròn (C) và đường thẳng $\Delta$.

Mệnh đề a)
Đề bài: $d(I,\Delta)=\sqrt{5}.$

Lập luận:
- Ta tính khoảng cách từ điểm $I(-1;2)$ đến đường thẳng $\Delta: x - 2y + 7 = 0$ bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
$$ d(I, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$
- Với $a = 1$, $b = -2$, $c = 7$, $x_0 = -1$, $y_0 = 2$:
$$ d(I, \Delta) = \frac{|1(-1) + (-2)(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-1 - 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$

Vậy $d(I, \Delta) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \neq \sqrt{5}$.

Kết luận: Mệnh đề a) là Sai.

Mệnh đề b)
Đề bài: Đường kính của đường tròn có độ dài bằng $\frac{4}{\sqrt{5}}.$

Lập luận:
- Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$, bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$. 
- Từ mệnh đề a), ta đã tính được $d(I, \Delta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, vậy bán kính $r = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
- Đường kính của đường tròn là $2r = 2 \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.

Vậy đường kính của đường tròn là $\frac{4\sqrt{5}}{5} \neq \frac{4}{\sqrt{5}}$.

Kết luận: Mệnh đề b) là Sai.

Mệnh đề c)
Đề bài: Phương trình đường tròn là $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5.$

Lập luận:
- Phương trình đường tròn có tâm $I(-1;2)$ và bán kính $r = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2 $$
- Ta tính $r^2$:
$$ r^2 = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4 \times 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $$

Vậy phương trình đường tròn là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{4}{5} $$

Phương trình $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$ là sai.

Kết luận: Mệnh đề c) là Sai.

Mệnh đề d)
Đề bài: Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.

Lập luận:
- Để tìm tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng, ta thay phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn.
- Phương trình đường thẳng $\Delta: y = \frac{x + 7}{2}$.
- Thay vào phương trình đường tròn $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{4}{5}$:
$$ (x + 1)^2 + \left(\frac{x + 7}{2} - 2\right)^2 = \frac{4}{5} $$
$$ (x + 1)^2 + \left(\frac{x + 3}{2}\right)^2 = \frac{4}{5} $$
$$ (x + 1)^2 + \frac{(x + 3)^2}{4} = \frac{4}{5} $$
$$ 4(x + 1)^2 + (x + 3)^2 = \frac{16}{5} $$
$$ 4(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = \frac{16}{5} $$
$$ 4x^2 + 8x + 4 + x^2 + 6x + 9 = \frac{16}{5} $$
$$ 5x^2 + 14x + 13 = \frac{16}{5} $$
$$ 25x^2 + 70x + 65 = 16 $$
$$ 25x^2 + 70x + 49 = 0 $$
$$ (5x + 7)^2 = 0 $$
$$ x = -\frac{7}{5} $$

Vậy hoành độ giao điểm là $-\frac{7}{5}$, nhỏ hơn 0.

Kết luận: Mệnh đề d) là Đúng.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là Sai.
- Mệnh đề b) là Sai.
- Mệnh đề c) là Sai.
- Mệnh đề d) là Đúng.

Bài 34:
Để giải quyết các mệnh đề, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho.

Mệnh đề a:
Tâm của đường tròn (C) là $I(7; -\frac{4}{3})$.

Ta kiểm tra xem điểm $I(7; -\frac{4}{3})$ có thuộc đường thẳng $\Delta: x - 3y - 11 = 0$ hay không:
$$ 7 - 3 \left(-\frac{4}{3}\right) - 11 = 7 + 4 - 11 = 0 $$
Do đó, điểm $I(7; -\frac{4}{3})$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

Tiếp theo, ta kiểm tra xem điểm $I(7; -\frac{4}{3})$ có là tâm của đường tròn đi qua hai điểm $A(2; 3)$ và $B(-1; 1)$ hay không. Ta tính khoảng cách từ $I$ đến $A$ và $B$:
$$ IA = \sqrt{(7 - 2)^2 + \left(-\frac{4}{3} - 3\right)^2} = \sqrt{5^2 + \left(-\frac{13}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{169}{9}} = \sqrt{\frac{225}{9} + \frac{169}{9}} = \sqrt{\frac{394}{9}} = \frac{\sqrt{394}}{3} $$

$$ IB = \sqrt{(7 + 1)^2 + \left(-\frac{4}{3} - 1\right)^2} = \sqrt{8^2 + \left(-\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{576}{9} + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} $$

Do $IA \neq IB$, nên điểm $I(7; -\frac{4}{3})$ không phải là tâm của đường tròn đi qua hai điểm $A$ và $B$. Vậy mệnh đề a là Sai.

Mệnh đề b:
Điểm $O(0; 0)$ nằm bên trong đường tròn (C).

Để kiểm tra xem điểm $O(0; 0)$ có nằm bên trong đường tròn hay không, ta cần biết bán kính của đường tròn. Ta tính bán kính $r$ của đường tròn từ tâm $I$ đến một trong hai điểm $A$ hoặc $B$:
$$ r = IA = \frac{\sqrt{394}}{3} $$

Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $O$:
$$ IO = \sqrt{(7 - 0)^2 + \left(-\frac{4}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{7^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{441}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{457}{9}} = \frac{\sqrt{457}}{3} $$

So sánh $IO$ với $r$:
$$ \frac{\sqrt{457}}{3} < \frac{\sqrt{394}}{3} $$

Do đó, điểm $O(0; 0)$ nằm bên trong đường tròn. Vậy mệnh đề b là Đúng.

Mệnh đề c:
Đường kính của đường tròn (C) bằng 65.

Ta đã tính bán kính $r = \frac{\sqrt{394}}{3}$. Đường kính $d$ của đường tròn là:
$$ d = 2r = 2 \times \frac{\sqrt{394}}{3} = \frac{2\sqrt{394}}{3} $$

Ta thấy rằng $\frac{2\sqrt{394}}{3} \neq 65$. Vậy mệnh đề c là Sai.

Mệnh đề d:
Đường tròn (C) đi qua điểm $N(0; 2)$.

Ta kiểm tra xem điểm $N(0; 2)$ có nằm trên đường tròn hay không bằng cách tính khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $N$:
$$ IN = \sqrt{(7 - 0)^2 + \left(-\frac{4}{3} - 2\right)^2} = \sqrt{7^2 + \left(-\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{441}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{541}{9}} = \frac{\sqrt{541}}{3} $$

So sánh $IN$ với bán kính $r$:
$$ \frac{\sqrt{541}}{3} \neq \frac{\sqrt{394}}{3} $$

Do đó, điểm $N(0; 2)$ không nằm trên đường tròn. Vậy mệnh đề d là Sai.

Kết luận:
- Mệnh đề a: SAI
- Mệnh đề b: ĐÚNG
- Mệnh đề c: SAI
- Mệnh đề d: SAI

Bài 35:
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên phương trình của đường tròn và các điểm đã cho.

Phương trình của đường tròn (C) là:
$$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 $$

Mệnh đề a: Điểm A thuộc đường tròn

Thay tọa độ của điểm A(1, -1) vào phương trình của đường tròn:
$$ 1^2 + (-1)^2 - 6 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 6 = 1 + 1 - 6 - 2 + 6 = 0 $$
Phương trình đúng, vậy điểm A thuộc đường tròn.

Đáp án: Đúng

Mệnh đề b: Điểm B nằm trong đường tròn

Thay tọa độ của điểm B(1, 3) vào phương trình của đường tròn:
$$ 1^2 + 3^2 - 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 6 = 1 + 9 - 6 + 6 + 6 = 16 \neq 0 $$
Phương trình sai, vậy điểm B không thuộc đường tròn. Để xác định điểm B nằm trong hay ngoài đường tròn, ta cần biết tâm và bán kính của đường tròn.

Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
$$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4 $$
Tâm của đường tròn là (3, -1) và bán kính là 2.

Khoảng cách từ tâm đến điểm B:
$$ \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} > 2 $$
Vậy điểm B nằm ngoài đường tròn.

Đáp án: Sai

Mệnh đề c: $ x = 1 $ là phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm (x_0, y_0) là:
$$ (x_0 - 3)(x - 3) + (y_0 + 1)(y + 1) = 4 $$
Thay tọa độ của điểm A(1, -1):
$$ (1 - 3)(x - 3) + (-1 + 1)(y + 1) = 4 $$
$$ -2(x - 3) + 0(y + 1) = 4 $$
$$ -2x + 6 = 4 $$
$$ -2x = -2 $$
$$ x = 1 $$
Vậy phương trình $ x = 1 $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.

Đáp án: Đúng

Mệnh đề d: Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là: $ x = 1 $ và $ 3x + 4y - 12 = 0 $

Ta đã biết $ x = 1 $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Để kiểm tra phương trình tiếp tuyến thứ hai, ta thay tọa độ của điểm B(1, 3) vào phương trình $ 3x + 4y - 12 = 0 $:
$$ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 - 12 = 3 + 12 - 12 = 3 \neq 0 $$
Phương trình này không đúng, vậy phương trình $ 3x + 4y - 12 = 0 $ không phải là phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua điểm B.

Đáp án: Sai

Tóm lại:
- Mệnh đề a: Đúng
- Mệnh đề b: Sai
- Mệnh đề c: Đúng
- Mệnh đề d: Sai