giúp mình với! ,Ví dụ 1.1.,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[-2;2].$,. Lời giải,,,Ví dụ 1.2.,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$,. Lời giải,

Question

giúp mình với!

,Ví dụ 1.1.,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[-2;2].$,>. Lời giải,

,

,Ví dụ 1.2.,Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$,>. Lời giải,

Accepted Answer

Ví dụ 1.
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ trên đoạn $[-2; 2]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 $$

2. Xác định các điểm cực trị:
   Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
$$ 3x^2 - 3 = 0 $$
$$ 3(x^2 - 1) = 0 $$
$$ x^2 - 1 = 0 $$
$$ x = \pm 1 $$

3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn:
   - Tại $ x = -2 $:
$$ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 $$

- Tại $ x = -1 $:
$$ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $$

- Tại $ x = 1 $:
$$ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $$

- Tại $ x = 2 $:
$$ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   - Các giá trị đã tính: $ f(-2) = -1 $, $ f(-1) = 3 $, $ f(1) = -1 $, $ f(2) = 3 $

Từ đó, ta thấy:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $ x = -1 $ hoặc $ x = 2 $.
   - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi $ x = -2 $ hoặc $ x = 1 $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $ x = -1 $ hoặc $ x = 2 $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi $ x = -2 $ hoặc $ x = 1 $.

Ví dụ 1.
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x \sqrt{1 - x^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định của hàm số:
   Hàm số $ f(x) = x \sqrt{1 - x^2} $ có nghĩa là $ 1 - x^2 \geq 0 $. Do đó:
   $$
   -1 \leq x \leq 1
   $$
   Vậy miền xác định của hàm số là $ [-1, 1] $.

2. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Ta tính đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \sqrt{1 - x^2} \right)
   $$
   Áp dụng quy tắc nhân và chuỗi:
   $$
   f'(x) = \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x)
   $$
   $$
   f'(x) = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{(1 - x^2) - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}
   $$
   $$
   f'(x) = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}
   $$

3. Tìm điểm cực trị:
   Đặt $ f'(x) = 0 $:
   $$
   \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = 0
   $$
   Điều này xảy ra khi:
   $$
   1 - 2x^2 = 0
   $$
   $$
   2x^2 = 1
   $$
   $$
   x^2 = \frac{1}{2}
   $$
   $$
   x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

4. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên:
   - Tại $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
     $$
     f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}
     $$
   - Tại $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
     $$
     f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2}
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     f(1) = 1 \sqrt{1 - 1^2} = 1 \cdot 0 = 0
     $$
   - Tại $ x = -1 $:
     $$
     f(-1) = -1 \sqrt{1 - (-1)^2} = -1 \cdot 0 = 0
     $$

5. Kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số là $ \frac{1}{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
   - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -\frac{1}{2} $, đạt được khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Đáp số:
- Giá trị lớn nhất: $ \frac{1}{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Giá trị nhỏ nhất: $ -\frac{1}{2} $, đạt được khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.