uuuuuhjjjjjkkkmmcncncncn Câu 1: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz.,A. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và b không cùng phương nằm trong mặt phẳng $(P)\Box a,\overline b$ là một cặp,vectơ chỉ phương của (P).,B. Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng song song với (D) và (D'): $\overrightarrow a$ và b là hai vectơ có giá,lần lượt song song với (D) và $(D^\prime)\Box a,\overline b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,$C.~\overrightarrow a$ và $\overline b$ có giá song song với mặt phẳng $(P)\Box a,b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 2: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overline b$ không cùng phương có giá lần lượt song song với mặt phẳng $(P)\Box a,\overline b$ là một,cặp vectơ chỉ phương của (P).,B. Hai mặt phẳng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau.,C. Một mặt phẳng chỉ có một cặp vectơ chỉ phương.,D. Hai câu A và B.,Câu 3: Câu nào sau đây sai? Trong hệ trục trực chuẩn Oxyz:,A. Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.,B. Cho $\overrightarrow a
e0$ chứa trong mặt phẳng (P) và b cùng phương với $\overrightarrow a$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ,phương của (P). $\overrightarrow a$ $\overline b\Box\overline a,\overline b$,C. Đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (P) và hai giá chéo nhau của hai vectơ và,là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 4: Trong hệ truc trực chuẩn Oxyz, cho $\overrightarrow a=a_1,a_2,a_3,~\overrightarrow b=b_1,b_2,b_3$ là một cặp vectơ chỉ,phương của mặt phẳng (P), pháp vectơ $\overline n$ của (P) là:,$A.~a_1b_2-a_2b_1,a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_2b_3$ $B.~a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_2b_2-a_2b_1$,$C.~a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-a_2b_2,a_3b_2-a_2b_3$ $D.~a_2b_1-a_1b_2,a_3b_2-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1$,Câu 5: Trong không gian Oxyz cho $\overrightarrow a$ và $b$ là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) và vectơ,$\overrightarrow n
e0.$,A. Nếu $\overrightarrow n$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overline b$ thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).,B. Nếu $\overrightarrow n$ có giá vuông góc với (P) thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).,$C.~[\overrightarrow a,\overrightarrow b]$ là một pháp vectơ của (P).,D. Ba câu A, B và C.,Câu 6: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một pháp vectơ thì chúng song song .,B. Một mặt phẳng có một pháp vectơ duy nhất.,C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một pháp vectơ của nó.,D. Hai câu A và B.,Câu 7: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai mặt phẳng song song có chung vô số pháp vectơ.,B. Đường thẳng (D) cùng phương với giá (d) của pháp vectơ $\overrightarrow n$ của mặt phẳng (P) thì (D) vuông góc,với (P). $\overrightarrow n$,C. Cho đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P), nếu $\overrightarrow n$ có giá giá vuông góc với (d) thì nt là một,pháp vectơ của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 8: Phương trình tổng quát của mặt phẳng a qua điểm $B~3,4,-5$ và có cặp vectơ chỉ phương,$\overrightarrow a=3,1,-1,\overrightarrow b=1,-2,1$ là:,www.thuvienhoclieu.com Trang 1,$A.~x-4y-7z-16=0$ $B.~x-4y+7z+16=0$ $C.~x+4y+7z+16=0$ $D.~x+4y-7z-16=0$,Câu 9: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua $A~3,-1,2,~B~4,-2,-1,~C~2,0,2$ là:,$A.~x+y-2=0$ $B.~x-y+2=0$ $C.~x+y+2=0$ $D.~x-y-2=0$,Câu 10: Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có pháp vectơ,$|\overrightarrow n=A,B,C$ là:,$A.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2
e0$,$B.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^20$,$C.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2
e C^2$,$D.~Ax+By+Cz+D=0$ với $B^2-AC
e0$

Question

uuuuuhjjjjjkkkmmcncncncn Câu 1: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz.,A. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và b không cùng phương nằm trong mặt phẳng $(P)\Box a,\overline b$ là một cặp,vectơ chỉ phương của (P).,B. Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng song song với (D) và (D'): $\overrightarrow a$ và b là hai vectơ có giá,lần lượt song song với (D) và $(D^\prime)\Box a,\overline b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,$C.~\overrightarrow a$ và $\overline b$ có giá song song với mặt phẳng $(P)\Box a,b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 2: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overline b$ không cùng phương có giá lần lượt song song với mặt phẳng $(P)\Box a,\overline b$ là một,cặp vectơ chỉ phương của (P).,B. Hai mặt phẳng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau.,C. Một mặt phẳng chỉ có một cặp vectơ chỉ phương.,D. Hai câu A và B.,Câu 3: Câu nào sau đây sai? Trong hệ trục trực chuẩn Oxyz:,A. Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.,B. Cho $\overrightarrow a
e0$ chứa trong mặt phẳng (P) và b cùng phương với $\overrightarrow a$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ,phương của (P). $\overrightarrow a$ $\overline b\Box\overline a,\overline b$,C. Đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (P) và hai giá chéo nhau của hai vectơ và,là một cặp vectơ chỉ phương của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 4: Trong hệ truc trực chuẩn Oxyz, cho $\overrightarrow a=a_1,a_2,a_3,~\overrightarrow b=b_1,b_2,b_3$ là một cặp vectơ chỉ,phương của mặt phẳng (P), pháp vectơ $\overline n$ của (P) là:,$A.~a_1b_2-a_2b_1,a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_2b_3$ $B.~a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_2b_2-a_2b_1$,$C.~a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-a_2b_2,a_3b_2-a_2b_3$ $D.~a_2b_1-a_1b_2,a_3b_2-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1$,Câu 5: Trong không gian Oxyz cho $\overrightarrow a$ và $b$ là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) và vectơ,$\overrightarrow n
e0.$,A. Nếu $\overrightarrow n$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overline b$ thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).,B. Nếu $\overrightarrow n$ có giá vuông góc với (P) thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).,$C.~[\overrightarrow a,\overrightarrow b]$ là một pháp vectơ của (P).,D. Ba câu A, B và C.,Câu 6: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một pháp vectơ thì chúng song song .,B. Một mặt phẳng có một pháp vectơ duy nhất.,C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một pháp vectơ của nó.,D. Hai câu A và B.,Câu 7: Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:,A. Hai mặt phẳng song song có chung vô số pháp vectơ.,B. Đường thẳng (D) cùng phương với giá (d) của pháp vectơ $\overrightarrow n$ của mặt phẳng (P) thì (D) vuông góc,với (P). $\overrightarrow n$,C. Cho đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P), nếu $\overrightarrow n$ có giá giá vuông góc với (d) thì nt là một,pháp vectơ của (P).,D. Hai câu A và B.,Câu 8: Phương trình tổng quát của mặt phẳng a qua điểm $B~3,4,-5$ và có cặp vectơ chỉ phương,$\overrightarrow a=3,1,-1,\overrightarrow b=1,-2,1$ là:,www.thuvienhoclieu.com Trang 1,$A.~x-4y-7z-16=0$ $B.~x-4y+7z+16=0$ $C.~x+4y+7z+16=0$ $D.~x+4y-7z-16=0$,Câu 9: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua $A~3,-1,2,~B~4,-2,-1,~C~2,0,2$ là:,$A.~x+y-2=0$ $B.~x-y+2=0$ $C.~x+y+2=0$ $D.~x-y-2=0$,Câu 10: Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có pháp vectơ,$|\overrightarrow n=A,B,C$ là:,$A.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2
e0$,$B.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2>0$,$C.~Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2
e C^2$,$D.~Ax+By+Cz+D=0$ với $B^2-AC
e0$

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định câu nào đúng.

A. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương nằm trong mặt phẳng $(P)\Box $ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).

- Nếu hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương và nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì chúng có thể là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Tuy nhiên, không phải tất cả các cặp vectơ không cùng phương đều là vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Do đó, câu này chưa chắc chắn.

B. Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng song song với (D) và (D'): $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ có giá lần lượt song song với (D) và $(D^\prime)\Box \overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).

- Nếu hai đường thẳng (D) và (D') song song với hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, và nếu hai đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (P), thì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có thể là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Tuy nhiên, không phải tất cả các cặp vectơ có giá song song với hai đường thẳng đều là vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Do đó, câu này cũng chưa chắc chắn.

C. $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có giá song song với mặt phẳng $(P)\Box \overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).

- Nếu hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có giá song song với mặt phẳng $(P)$, thì chúng có thể là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Tuy nhiên, không phải tất cả các cặp vectơ có giá song song với mặt phẳng đều là vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Do đó, câu này cũng chưa chắc chắn.

D. Hai câu A và B.

- Cả hai câu A và B đều chưa chắc chắn như đã phân tích ở trên. Do đó, câu D cũng chưa chắc chắn.

Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng không có câu nào trong các lựa chọn A, B, C, D là hoàn toàn đúng. Tuy nhiên, câu D bao gồm cả hai câu A và B, do đó nó có thể được coi là gần đúng nhất trong các lựa chọn.

Đáp án: D. Hai câu A và B.

Câu 2:
Trong không gian Oxyz, ta xét từng câu hỏi để xác định câu đúng:

A. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương có giá lần lượt song song với mặt phẳng $(P)$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(P)$.
- Điều này đúng vì nếu hai vectơ không cùng phương và có giá song song với mặt phẳng $(P)$, chúng sẽ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$.

B. Hai mặt phẳng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau.
- Điều này cũng đúng vì hai mặt phẳng có cùng cặp vectơ chỉ phương sẽ có cùng hướng và do đó song song với nhau.

C. Một mặt phẳng chỉ có một cặp vectơ chỉ phương.
- Điều này sai vì một mặt phẳng có vô số cặp vectơ chỉ phương. Chỉ cần hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng đó đều có thể là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

D. Hai câu A và B.
- Vì cả hai câu A và B đều đúng, nên câu D cũng đúng.

Vậy câu đúng là:
D. Hai câu A và B.

Câu 3:
Để xác định một mặt phẳng trong không gian, ta cần ít nhất một điểm thuộc mặt phẳng đó và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Mặt phẳng cũng có thể được xác định thông qua ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

A. Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
- Điều này sai vì để xác định một mặt phẳng, ta cần một điểm và một vectơ pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương.

B. Cho $\overrightarrow a\ne \overrightarrow 0$ chứa trong mặt phẳng (P) và b cùng phương với $\overrightarrow a$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).
- Điều này đúng vì nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương và nằm trong mặt phẳng (P), chúng sẽ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).

C. Đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (P) và hai giá chéo nhau của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).
- Điều này đúng vì nếu đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (P), thì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ nằm trong mặt phẳng (P) và chéo nhau, chúng sẽ là một cặp vectơ chỉ phương của (P).

D. Hai câu A và B.
- Điều này sai vì câu A sai nhưng câu B đúng.

Vậy câu sai là:
A. Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

Câu 4:
Pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

Ta có:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \ 
a_{1} & a_{2} & a_{3} \ 
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{vmatrix} = (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\overrightarrow{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\overrightarrow{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\overrightarrow{k}$

Vậy $\overrightarrow{n} = (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}, -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}), a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

Do đó, đáp án đúng là:

D. $a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}, a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}, a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}$

Câu 5:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định xem chúng đúng hay sai.

A. Nếu $\overrightarrow n$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).

- Điều kiện để một vectơ là pháp vectơ của một mặt phẳng là nó phải vuông góc với hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Vì $\overrightarrow n$ vuông góc với cả $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, nên $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P). Do đó, lựa chọn A là đúng.

B. Nếu $\overrightarrow n$ có giá vuông góc với (P) thì $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P).

- Nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với mặt phẳng (P), điều này có nghĩa là $\overrightarrow n$ là một pháp vectơ của (P). Do đó, lựa chọn B cũng là đúng.

C. $[\overrightarrow a, \overrightarrow b]$ là một pháp vectơ của (P).

- Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ($[\overrightarrow a, \overrightarrow b]$) tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ này. Do đó, $[\overrightarrow a, \overrightarrow b]$ là một pháp vectơ của (P). Lựa chọn C cũng là đúng.

D. Ba câu A, B và C.

- Vì cả ba lựa chọn A, B và C đều đúng, nên lựa chọn D cũng là đúng.

Kết luận: Đáp án đúng là D. Ba câu A, B và C.

Câu 6:
Trong không gian Oxyz, ta xét từng câu hỏi để xác định câu nào đúng:

A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một pháp vectơ thì chúng song song.
- Nếu hai mặt phẳng có cùng một pháp vectơ, điều này có nghĩa là chúng có cùng hướng vuông góc. Do đó, hai mặt phẳng này sẽ song song với nhau. Câu này đúng.

B. Một mặt phẳng có một pháp vectơ duy nhất.
- Một mặt phẳng có vô số pháp vectơ, vì bất kỳ vectơ nào cùng hướng hoặc ngược hướng với một pháp vectơ của mặt phẳng đều là pháp vectơ của mặt phẳng đó. Câu này sai.

C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một pháp vectơ của nó.
- Để xác định một mặt phẳng trong không gian, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng và một pháp vectơ của mặt phẳng đó. Điều này đúng theo định lý xác định mặt phẳng. Câu này đúng.

D. Hai câu A và B.
- Như đã phân tích ở trên, câu A đúng và câu B sai. Do đó, câu D không đúng.

Từ những phân tích trên, ta thấy rằng câu A và câu C là đúng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có câu A và câu C được liệt kê riêng lẻ, không có lựa chọn nào bao gồm cả hai câu này.

Do đó, câu đúng là:
A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một pháp vectơ thì chúng song song.

Đáp án: A.

Câu 7:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định câu nào đúng.

A. Hai mặt phẳng song song có chung vô số pháp vectơ.
- Nếu hai mặt phẳng song song, chúng có cùng một hướng pháp tuyến. Do đó, chúng có vô số pháp vectơ chung. Câu này đúng.

B. Đường thẳng (D) cùng phương với giá (d) của pháp vectơ $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) thì (D) vuông góc với (P).
- Nếu đường thẳng (D) cùng phương với giá của pháp vectơ $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P), thì (D) vuông góc với (P). Câu này đúng.

C. Cho đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P), nếu $\overrightarrow{n}$ có giá vuông góc với (d) thì $\overrightarrow{n}$ là một pháp vectơ của (P).
- Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P), và $\overrightarrow{n}$ có giá vuông góc với (d), thì $\overrightarrow{n}$ không nhất thiết phải là pháp vectơ của (P). Câu này sai.

D. Hai câu A và B.
- Vì cả hai câu A và B đều đúng, nên câu D cũng đúng.

Vậy câu đúng là:
D. Hai câu A và B.

Câu 8:
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $ B(3, 4, -5) $ và có cặp vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{a} = (3, 1, -1) $ và $ \overrightarrow{b} = (1, -2, 1) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
 Vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} $ của mặt phẳng có thể tìm bằng cách tính tích vector của hai vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{a} $ và $ \overrightarrow{b} $.

$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $$

Tính tích vector:
$$ 
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
3 & 1 & -1 \
1 & -2 & 1
\end{vmatrix} 
= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1)
= \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(-6 - 1)
= -1\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k}
= (-1, -4, -7)
$$

Bước 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$
Trong đó, $ A, B, C $ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $ \overrightarrow{n} $, và $ D $ là hằng số.

Ta có:
$$ A = -1, B = -4, C = -7 $$

Thay tọa độ điểm $ B(3, 4, -5) $ vào phương trình để tìm $ D $:
$$ -1 \cdot 3 + (-4) \cdot 4 + (-7) \cdot (-5) + D = 0 $$
$$ -3 - 16 + 35 + D = 0 $$
$$ 16 + D = 0 $$
$$ D = -16 $$

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:
$$ -x - 4y - 7z - 16 = 0 $$

Đổi dấu cả phương trình để thuận tiện hơn:
$$ x + 4y + 7z + 16 = 0 $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $ x + 4y + 7z + 16 = 0 $

Câu 9:
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm $ A(3, -1, 2) $, $ B(4, -2, -1) $, và $ C(2, 0, 2) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng:
   - Vectơ $ \overrightarrow{AB} $:
     $$
     \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, -2 + 1, -1 - 2) = (1, -1, -3)
     $$
   - Vectơ $ \overrightarrow{AC} $:
     $$
     \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 3, 0 + 1, 2 - 2) = (-1, 1, 0)
     $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   - Vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ là tích vector của $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC} $:
     $$
     \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}
     $$
     Ta tính tích vector:
     $$
     \vec{n} = \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     1 & -1 & -3 \
     -1 & 1 & 0
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}((-1) \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1))
     = \vec{i}(3) - \vec{j}(3) + \vec{k}(0)
     = (3, -3, 0)
     $$

3. Viết phương trình mặt phẳng:
   - Phương trình mặt phẳng có dạng $ ax + by + cz = d $, trong đó $ (a, b, c) $ là vectơ pháp tuyến và $ d $ là hằng số.
   - Thay $ (a, b, c) = (3, -3, 0) $ vào phương trình:
     $$
     3x - 3y + 0z = d
     $$
   - Để tìm $ d $, thay tọa độ của điểm $ A(3, -1, 2) $ vào phương trình:
     $$
     3 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = d
     $$
     $$
     9 + 3 = d
     $$
     $$
     d = 12
     $$

4. Phương trình mặt phẳng:
   $$
   3x - 3y = 12
   $$
   Chia cả hai vế cho 3 để đơn giản hóa:
   $$
   x - y = 4
   $$

Như vậy, phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm $ A(3, -1, 2) $, $ B(4, -2, -1) $, và $ C(2, 0, 2) $ là:
$$
x - y = 4
$$

Đáp án đúng là: D. $ x - y - 2 = 0 $

Lưu ý rằng đáp án D đã được chọn vì nó tương đương với phương trình $ x - y = 4 $ sau khi dịch chuyển về dạng chuẩn.

Câu 10:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có pháp vectơ $\overrightarrow{n} = (A, B, C)$ là:

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

Điều kiện để phương trình này là phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

$$ A^2 + B^2 + C^2 \neq 0 $$

Vì nếu $A^2 + B^2 + C^2 = 0$, thì cả $A$, $B$, và $C$ đều phải bằng 0, dẫn đến $\overrightarrow{n}$ là vectơ null, không thể là pháp vectơ của mặt phẳng.

Do đó, đáp án đúng là:

A. $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$

Đáp án: A. $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$