jdjdjjssksjsb S. Ví dụ 4...,Trong không gian Oxyz, nếu mặt cầu .(S). đi qua bốn điểm,$M(2;2;2),~N(4;0;2),~P(4;2;0)$ và $Q(4;2;2)$ thì tâm I của (S) có tọa độ là?

Question

jdjdjjssksjsb S.  Ví dụ 4...,Trong không gian Oxyz, nếu mặt cầu .(S). đi qua bốn điểm,$M(2;2;2),~N(4;0;2),~P(4;2;0)$ và $Q(4;2;2)$ thì tâm I của (S) có tọa độ là?

Accepted Answer

Ví dụ 4.
Để tìm tâm $ I $ của mặt cầu đi qua bốn điểm $ M(2;2;2) $, $ N(4;0;2) $, $ P(4;2;0) $ và $ Q(4;2;2) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm $ M $, $ N $, $ P $:
   - Vector $ \overrightarrow{MN} = (4-2, 0-2, 2-2) = (2, -2, 0) $
   - Vector $ \overrightarrow{MP} = (4-2, 2-2, 0-2) = (2, 0, -2) $

Mặt phẳng chứa $ M $, $ N $, $ P $ có phương trình:
   $$
   \begin{vmatrix}
   x - 2 & y - 2 & z - 2 \
   2 & -2 & 0 \
   2 & 0 & -2
   \end{vmatrix} = 0
   $$

Tính định thức:
   $$
   (x - 2)(4) + (y - 2)(-4) + (z - 2)(-4) = 0
   $$
   $$
   4x - 8 - 4y + 8 - 4z + 8 = 0
   $$
   $$
   4x - 4y - 4z + 8 = 0
   $$
   $$
   x - y - z + 2 = 0
   $$

2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $ MN $ và vuông góc với mặt phẳng $ MNP $:
   - Trung điểm của $ MN $:
     $$
     \left( \frac{2+4}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (3, 1, 2)
     $$

Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ MNP $ là $ (1, -1, -1) $.

Phương trình đường thẳng:
   $$
   \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{-1} = t
   $$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng $ MQP $:
   - Mặt phẳng $ MQP $ chứa $ M(2,2,2) $, $ Q(4,2,2) $, $ P(4,2,0) $:
     - Vector $ \overrightarrow{MQ} = (4-2, 2-2, 2-2) = (2, 0, 0) $
     - Vector $ \overrightarrow{MP} = (4-2, 2-2, 0-2) = (2, 0, -2) $

Mặt phẳng $ MQP $ có phương trình:
     $$
     \begin{vmatrix}
     x - 2 & y - 2 & z - 2 \
     2 & 0 & 0 \
     2 & 0 & -2
     \end{vmatrix} = 0
     $$

Tính định thức:
     $$
     (x - 2)(0) + (y - 2)(-4) + (z - 2)(0) = 0
     $$
     $$
     -4(y - 2) = 0
     $$
     $$
     y = 2
     $$

Thay $ y = 2 $ vào phương trình đường thẳng:
   $$
   x - 3 = t, \quad 2 - 1 = -t, \quad z - 2 = -t
   $$
   $$
   x - 3 = t, \quad 1 = -t, \quad z - 2 = -t
   $$
   $$
   t = -1
   $$
   $$
   x = 2, \quad y = 2, \quad z = 3
   $$

Vậy tâm $ I $ của mặt cầu là $ (3, 2, 2) $.

Đáp số: $ I(3, 2, 2) $.