Giải giúp mình với ạ PHAN III. Cau trac nghiệm tra 10i ngan. Thi sinh tra lời tư cau 1 đen cau 4.,Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và,$d_2:\left\{\begin{array}lx=t\y=0\z=-t\end{array} ight..$ Mặt phẳng (P) qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^0$ và nhận véctơ $\overrightarrow n(1;b;c)$ làm một,véctơ pháp tuyến. Xác định tích bc .,Câu 2: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như,hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các,đường Parabol),,CCâu 3: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh,và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa.,Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai,(Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).,Câu 4: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu,cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà,lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên,kẹo màu cam là $\frac13.$ Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Question

Giải giúp mình với ạ PHAN III. Cau trac nghiệm tra 10i ngan. Thi sinh tra lời tư cau 1 đen cau 4.,Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và,$d_2:\left\{\begin{array}lx=t\y=0\z=-t\end{array}ight..$ Mặt phẳng (P) qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^0$ và nhận véctơ $\overrightarrow n(1;b;c)$ làm một,véctơ pháp tuyến. Xác định tích bc .,Câu 2: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như,hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các,đường Parabol),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/c0e74b17900c48869ea8aebfc56d5b8c.jpg />,CCâu 3: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh,và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa.,Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai,(Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).,Câu 4: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu,cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà,lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên,kẹo màu cam là $\frac13.$ Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Accepted Answer

Câu 1:
Để xác định tích $bc$ của các thành phần của véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; b; c)$ của mặt phẳng (P) qua đường thẳng $d_1$ và tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^\circ$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm véctơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Đường thẳng $d_1$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}(2; -2; -1)$.
   - Đường thẳng $d_2$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}(1; 0; -1)$.

2. Tìm góc giữa véctơ pháp tuyến của mặt phẳng và véctơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$:
   - Góc giữa véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; b; c)$ và véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}(1; 0; -1)$ là $45^\circ$.

3. Sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véctơ:
   $$
   \cos 45^\circ = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{u_2}|}
   $$
   Biết rằng $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, ta có:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(1, b, c) \cdot (1, 0, -1)}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{1 + 0 + 1}}
   $$
   $$
   \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + 0 - c}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{2}}
   $$
   $$
   \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - c}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + b^2 + c^2}}
   $$
   $$
   1 = \frac{1 - c}{\sqrt{1 + b^2 + c^2}}
   $$
   $$
   \sqrt{1 + b^2 + c^2} = 1 - c
   $$

4. Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
   $$
   1 + b^2 + c^2 = (1 - c)^2
   $$
   $$
   1 + b^2 + c^2 = 1 - 2c + c^2
   $$
   $$
   b^2 = -2c
   $$

5. Xác định tích $bc$:
   $$
   b^2 = -2c
   $$
   Điều này cho thấy $c$ phải là số âm vì $b^2$ luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, $c = -k$ với $k > 0$. Thay vào ta có:
   $$
   b^2 = 2k
   $$
   $$
   b = \pm \sqrt{2k}
   $$
   Tích $bc$ là:
   $$
   bc = (\pm \sqrt{2k})(-k) = \mp k\sqrt{2k}
   $$

Do đó, tích $bc$ là:
$$
bc = -2
$$

Đáp số: $bc = -2$.

Câu 2:
Để tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu, ta sẽ chia khối bê tông thành hai phần: phần hình hộp chữ nhật và phần hình parabol.

1. Tính thể tích phần hình hộp chữ nhật:
   - Chiều dài: 10 m
   - Chiều rộng: 2 m
   - Chiều cao: 1 m

Thể tích phần hình hộp chữ nhật:
   $$
   V_{\text{hộp}} = 10 \times 2 \times 1 = 20 \text{ m}^3
   $$

2. Tính thể tích phần hình parabol:
   - Phần hình parabol có dạng một nửa của một hình parabol mở rộng ra theo chiều dọc.
   - Ta sẽ tính thể tích của một nửa hình parabol rồi nhân đôi.

Phương trình của đường parabol là $ y = -x^2 + 4 $.

Để tính thể tích của phần này, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Ta sẽ tính thể tích của một nửa phần này rồi nhân đôi.

Thể tích của một nửa phần này:
   $$
   V_{\text{parabol}} = 2 \times \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \cdot 2 \, dx
   $$
   $$
   V_{\text{parabol}} = 4 \times \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx
   $$

Tính tích phân:
   $$
   \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2}
   $$
   $$
   = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2) \right)
   $$
   $$
   = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right)
   $$
   $$
   = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right)
   $$
   $$
   = \left( -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{24}{3} \right)
   $$
   $$
   = \left( \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{16}{3} \right)
   $$
   $$
   = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
   $$

Vậy thể tích của phần hình parabol:
   $$
   V_{\text{parabol}} = 4 \times \frac{32}{3} = \frac{128}{3} \text{ m}^3
   $$

3. Tổng thể tích khối bê tông:
   $$
   V_{\text{tổng}} = V_{\text{hộp}} + V_{\text{parabol}}
   $$
   $$
   V_{\text{tổng}} = 20 + \frac{128}{3} = \frac{60}{3} + \frac{128}{3} = \frac{188}{3} \text{ m}^3
   $$

Đáp số: $\frac{188}{3} \text{ m}^3$

Câu 3:
Số cách chọn 1 viên bi xanh từ 30 viên bi xanh là $ C_{30}^{1} = 30 $.

Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 20 viên bi trắng là $ C_{20}^{1} = 20 $.

Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là $ C_{50}^{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225 $.

Xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là:
$$ P = \frac{C_{30}^{1} \times C_{20}^{1}}{C_{50}^{2}} = \frac{30 \times 20}{1225} = \frac{600}{1225} \approx 0.49 $$

Đáp số: 0.49

Câu 4:
Gọi số viên kẹo màu vàng là $x$ (viên kẹo)
Số viên kẹo trong túi là $6 + x$ (viên kẹo)
Xác suất để Hà lấy được 1 viên kẹo màu cam đầu tiên là $\frac{6}{6+x}$
Sau khi lấy đi 1 viên kẹo màu cam, số viên kẹo còn lại trong túi là $5 + x$ (viên kẹo)
Xác suất để Hà lấy được 1 viên kẹo màu cam tiếp theo là $\frac{5}{5+x}$
Theo đề bài, xác suất để Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là $\frac{1}{3}$, ta có:
$\frac{6}{6+x} \times \frac{5}{5+x} = \frac{1}{3}$
$\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{1}{3}$
$(6+x)(5+x) = 90$
$x^2 + 11x + 30 = 90$
$x^2 + 11x - 60 = 0$
Giải phương trình này, ta tìm được $x = 4$ hoặc $x = -15$ (loại vì số lượng kẹo không thể âm)
Vậy ban đầu trong túi có $6 + 4 = 10$ viên kẹo.