Giup em voi Câu 19. (VTED 2019) Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{4^x}$ là,$A.~\frac{1-2(x+1)\ln2}{2^{2x}}$ $B.~\frac{1+2(x+1)\ln2}{2^{2x}}$ C.,$\frac{1-2(x+1)\ln2}{2^{x^2}}$ $D.~\frac{1+2(x+1)\ln2}{2^{x^2}}$,Câu 20. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số $y=\frac1{x+1+\ln x}$ với,$x0.$ Khi đó $-\frac{y^\prime}{y^2}$ bằng,$A.~\frac x{x+1}.$ $B.~1+\frac1x.$ $C.~\frac x{1+x+\ln x}.$ D.,$\frac{x+1}{1+x+\ln x}.$,Câu 21. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm của hàm số,$y=2^x\ln x-\frac1{e^x}.$,$A.~y^\prime=2^x(\frac1x+(\ln2)(\ln x))+\frac1{e^x}.$ $B.~y^\prime=2^x\ln2+\frac1x+e^{-x}.$,$C.~y^\prime=2^x\frac1x\ln2+\frac1{e^x}.$ $D.~y^\prime=2^x\ln2+\frac1x-e^x.$,Câu 22. (VTED 2019) Đạo hàm của hàm số $f(x)=\log_2|x^2-2x|$ là,$A.~\frac{2x-2}{(x^2-2x)\ln2}$ $B.~\frac1{(x^2-2x)\ln2}$ C.,$\frac{(2x-2)\ln2}{x^2-2x}$ $D.~\frac{2x-2}{|x^2-2x|\ln2}$,Câu 23. (Chuyên KHTN 2019) Đạo hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{\ln(\ln x)}$ là,$A.~f^\prime(x)=\frac1{x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$ $B.~f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt{\ln(\ln x)}}$,$C.~f^\prime(x)=\frac1{2x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$ $D.~f^\prime(x)=\frac1{\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$

Question

Giup em voi Câu 19. (VTED 2019) Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{4^x}$ là,$A.~\frac{1-2(x+1)\ln2}{2^{2x}}$ $B.~\frac{1+2(x+1)\ln2}{2^{2x}}$ C.,$\frac{1-2(x+1)\ln2}{2^{x^2}}$ $D.~\frac{1+2(x+1)\ln2}{2^{x^2}}$,Câu 20. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số $y=\frac1{x+1+\ln x}$ với,$x>0.$ Khi đó $-\frac{y^\prime}{y^2}$ bằng,$A.~\frac x{x+1}.$ $B.~1+\frac1x.$ $C.~\frac x{1+x+\ln x}.$ D.,$\frac{x+1}{1+x+\ln x}.$,Câu 21. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm của hàm số,$y=2^x\ln x-\frac1{e^x}.$,$A.~y^\prime=2^x(\frac1x+(\ln2)(\ln x))+\frac1{e^x}.$ $B.~y^\prime=2^x\ln2+\frac1x+e^{-x}.$,$C.~y^\prime=2^x\frac1x\ln2+\frac1{e^x}.$ $D.~y^\prime=2^x\ln2+\frac1x-e^x.$,Câu 22. (VTED 2019) Đạo hàm của hàm số $f(x)=\log_2|x^2-2x|$ là,$A.~\frac{2x-2}{(x^2-2x)\ln2}$ $B.~\frac1{(x^2-2x)\ln2}$ C.,$\frac{(2x-2)\ln2}{x^2-2x}$ $D.~\frac{2x-2}{|x^2-2x|\ln2}$,Câu 23. (Chuyên KHTN 2019) Đạo hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{\ln(\ln x)}$ là,$A.~f^\prime(x)=\frac1{x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$ $B.~f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt{\ln(\ln x)}}$,$C.~f^\prime(x)=\frac1{2x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$ $D.~f^\prime(x)=\frac1{\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}.$

Accepted Answer

Câu 19. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 1}{4^x}$, ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương và đạo hàm của hàm mũ. Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số: - Ta có $u = x + 1$ - Ta có $v = 4^x$ Bước 2: Tìm đạo hàm của các thành phần: - Đạo hàm của $u$: $u' = 1$ - Đạo hàm của $v$: $v' = 4^x \cdot \ln(4)$ Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Thay vào các giá trị đã tìm được: $$ y' = \frac{(1)(4^x) - (x + 1)(4^x \cdot \ln(4))}{(4^x)^2} $$ $$ y' = \frac{4^x - (x + 1)4^x \cdot \ln(4)}{4^{2x}} $$ $$ y' = \frac{4^x [1 - (x + 1) \ln(4)]}{4^{2x}} $$ $$ y' = \frac{1 - (x + 1) \ln(4)}{4^x} $$ Bước 4: Chuyển đổi $4^x$ về dạng $2^{2x}$: $$ y' = \frac{1 - (x + 1) \ln(4)}{2^{2x}} $$ Bước 5: Biểu diễn $\ln(4)$ dưới dạng $\ln(2^2)$: $$ \ln(4) = \ln(2^2) = 2 \ln(2) $$ Do đó: $$ y' = \frac{1 - (x + 1) \cdot 2 \ln(2)}{2^{2x}} $$ $$ y' = \frac{1 - 2(x + 1) \ln(2)}{2^{2x}} $$ Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1 - 2(x + 1) \ln(2)}{2^{2x}}$ Câu 20. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{1}{x + 1 + \ln x} $. 2. Tính $-\frac{y'}{y^2}$. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{1}{x + 1 + \ln x} $. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: $$ y' = -\frac{(x + 1 + \ln x)'}{(x + 1 + \ln x)^2} $$ Tính đạo hàm của mẫu số: $$ (x + 1 + \ln x)' = 1 + \frac{1}{x} $$ Do đó: $$ y' = -\frac{1 + \frac{1}{x}}{(x + 1 + \ln x)^2} $$ Bước 2: Tính $-\frac{y'}{y^2}$. Trước tiên, tính $ y^2 $: $$ y^2 = \left(\frac{1}{x + 1 + \ln x}\right)^2 = \frac{1}{(x + 1 + \ln x)^2} $$ Bây giờ, tính $-\frac{y'}{y^2}$: $$ -\frac{y'}{y^2} = -\frac{-\frac{1 + \frac{1}{x}}{(x + 1 + \ln x)^2}}{\frac{1}{(x + 1 + \ln x)^2}} = 1 + \frac{1}{x} $$ Vậy đáp án đúng là: B. $ 1 + \frac{1}{x} $ Đáp án: B. $ 1 + \frac{1}{x} $ Câu 21. Để tính đạo hàm của hàm số $ y = 2^x \ln x - \frac{1}{e^x} $, ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số: - $ y = f(x) - g(x) $ - $ f(x) = 2^x \ln x $ - $ g(x) = \frac{1}{e^x} $ Bước 2: Tính đạo hàm của $ f(x) = 2^x \ln x $: - Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: $ (uv)' = u'v + uv' $ - $ u = 2^x $ và $ v = \ln x $ - $ u' = 2^x \ln 2 $ (đạo hàm của $ 2^x $) - $ v' = \frac{1}{x} $ (đạo hàm của $ \ln x $) Do đó: $$ f'(x) = (2^x \ln 2) \ln x + 2^x \cdot \frac{1}{x} $$ $$ f'(x) = 2^x (\ln 2 \ln x + \frac{1}{x}) $$ Bước 3: Tính đạo hàm của $ g(x) = \frac{1}{e^x} $: - $ g(x) = e^{-x} $ - Đạo hàm của $ e^{-x} $ là $ -e^{-x} $ Do đó: $$ g'(x) = -e^{-x} $$ Bước 4: Kết hợp các kết quả trên để tính đạo hàm của $ y $: $$ y' = f'(x) - g'(x) $$ $$ y' = 2^x (\ln 2 \ln x + \frac{1}{x}) - (-e^{-x}) $$ $$ y' = 2^x (\ln 2 \ln x + \frac{1}{x}) + e^{-x} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ y' = 2^x (\frac{1}{x} + \ln 2 \ln x) + \frac{1}{e^x} $$ Đáp án: A. $ y' = 2^x (\frac{1}{x} + \ln 2 \ln x) + \frac{1}{e^x} $ Câu 22. Để tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \log_2 |x^2 - 2x|$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. Hàm số $f(x)$ có dạng $\log_2 |x^2 - 2x|$. Để hàm số này có nghĩa, biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối phải khác 0: $$ |x^2 - 2x| > 0 $$ $$ x^2 - 2x \neq 0 $$ $$ x(x - 2) \neq 0 $$ Do đó, $x \neq 0$ và $x \neq 2$. Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit cơ số a. Công thức đạo hàm của hàm số $\log_a u(x)$ là: $$ (\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a} $$ Trong trường hợp này, $a = 2$ và $u(x) = |x^2 - 2x|$. Ta cần tìm đạo hàm của $u(x)$. Bước 3: Tìm đạo hàm của $u(x) = |x^2 - 2x|$. Ta xét hai trường hợp: - Nếu $x^2 - 2x > 0$, tức là $x < 0$ hoặc $x > 2$, thì $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$. - Nếu $x^2 - 2x < 0$, tức là $0 < x < 2$, thì $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$. Tuy nhiên, vì đạo hàm của hàm giá trị tuyệt đối có thể được viết dưới dạng: $$ \left(|g(x)|\right)' = \frac{g(x) g'(x)}{|g(x)|} $$ Áp dụng vào đây: $$ \left(|x^2 - 2x|\right)' = \frac{(x^2 - 2x)(2x - 2)}{|x^2 - 2x|} = \frac{(x^2 - 2x)(2x - 2)}{|x^2 - 2x|} = \frac{2x - 2}{|x^2 - 2x|} $$ Bước 4: Kết hợp các kết quả để tìm đạo hàm của $f(x)$. $$ f'(x) = \frac{\left(|x^2 - 2x|\right)'}{|x^2 - 2x| \ln 2} = \frac{\frac{2x - 2}{|x^2 - 2x|}}{|x^2 - 2x| \ln 2} = \frac{2x - 2}{|x^2 - 2x|^2 \ln 2} = \frac{2x - 2}{|x^2 - 2x| \ln 2} $$ Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{2x - 2}{|x^2 - 2x| \ln 2}$ Câu 23. Để tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \sqrt{\ln(\ln x)}$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số căn bậc hai. Bước 1: Xác định các hàm con trong hàm hợp. - Gọi $u = \ln x$. - Gọi $v = \ln u$. - Gọi $w = \sqrt{v}$. Bước 2: Tìm đạo hàm của các hàm con. - Đạo hàm của $u = \ln x$: $u' = \frac{1}{x}$. - Đạo hàm của $v = \ln u$: $v' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$. - Đạo hàm của $w = \sqrt{v}$: $w' = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot v' = \frac{1}{2\sqrt{\ln(\ln x)}} \cdot \frac{1}{x \ln x}$. Bước 3: Kết hợp các đạo hàm lại theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp. $f'(x) = w' = \frac{1}{2\sqrt{\ln(\ln x)}} \cdot \frac{1}{x \ln x} = \frac{1}{2x \ln x \sqrt{\ln(\ln x)}}$. Vậy đáp án đúng là: C. $f'(x) = \frac{1}{2x \ln x \sqrt{\ln(\ln x)}}$.