khai triển chi tiết các phương trình $(3x+1)^4=$

Question

Accepted Answer

Để khai triển biểu thức $(3x + 1)^4$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta mở rộng một lũy thừa của tổng hai số hoặc hai biểu thức.

Công thức nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(3x + 1)^4$, ta có:
$$
(3x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3x)^{4-k} (1)^k
$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} (3x)^{4-0} (1)^0 = 1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 = 81x^4
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} (3x)^{4-1} (1)^1 = 4 \cdot (3x)^3 \cdot 1 = 4 \cdot 27x^3 = 108x^3
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} (3x)^{4-2} (1)^2 = 6 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = 6 \cdot 9x^2 = 54x^2
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} (3x)^{4-3} (1)^3 = 4 \cdot (3x)^1 \cdot 1 = 4 \cdot 3x = 12x
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} (3x)^{4-4} (1)^4 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1 = 1
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(3x + 1)^4 = 81x^4 + 108x^3 + 54x^2 + 12x + 1
$$

Vậy, khai triển chi tiết của $(3x + 1)^4$ là:
$$
(3x + 1)^4 = 81x^4 + 108x^3 + 54x^2 + 12x + 1
$$