cíu vs ạ 😭 $B.~\frac15$ $C.~\frac{\sqrt3}3$ $D.~\frac{\sqrt3}2$,II. TỰ LUẬN,Câu 1: Giải các phương trình sau:,$a)~\log_3(x+1)-2=\log_3(4x+1)$ $b)~2^{x^2}.4^x-256=0$,Câu 2: Giải các bất phương trình sau:,$a)~\log_3(1-x)1-\log_3(2x+3).$ $b)~2^x-3^{x+1}0$,Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3,Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)~y=\frac13x^3+x^2-2x+1$ tại điểm $M(1;\frac13)$,Câu 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vuông góc,mp (BB'C'C),Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD,,có SH vuông góc với mp (ABCD). Chứng minh SK vuông góc với CD,Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Dựng AH vuông góc với,SB. Chứng minh (SBC) vuông góc (AHC),Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với $AC=a$ biết SA vuông góc,với đáy ABC và SC hợp với (SAB) một góc $30^0.$ Tính thể tích khối chóp

Question

cíu vs ạ 😭 $B.~\frac15$ $C.~\frac{\sqrt3}3$ $D.~\frac{\sqrt3}2$,II. TỰ LUẬN,Câu 1: Giải các phương trình sau:,$a)~\log_3(x+1)-2=\log_3(4x+1)$ $b)~2^{x^2}.4^x-256=0$,Câu 2: Giải các bất phương trình sau:,$a)~\log_3(1-x)>1-\log_3(2x+3).$ $b)~2^x-3^{x+1}>0$,Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3,Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)~y=\frac13x^3+x^2-2x+1$ tại điểm $M(1;\frac13)$,Câu 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vuông góc,mp (BB'C'C),Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD,,có SH vuông góc với mp (ABCD). Chứng minh SK vuông góc với CD,Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Dựng AH vuông góc với,SB. Chứng minh (SBC) vuông góc (AHC),Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với $AC=a$ biết SA vuông góc,với đáy ABC và SC hợp với (SAB) một góc $30^0.$ Tính thể tích khối chóp

Accepted Answer

Câu 1: a) $\log_3(x+1)-2=\log_3(4x+1)$ Điều kiện xác định: $x + 1 > 0$ và $4x + 1 > 0$, suy ra $x > -1$. $\log_3(x+1) - \log_3(9) = \log_3(4x+1)$ $\log_3 \left(\frac{x+1}{9}\right) = \log_3(4x+1)$ $\frac{x+1}{9} = 4x + 1$ $x + 1 = 36x + 9$ $35x = -8$ $x = -\frac{8}{35}$ Kiểm tra điều kiện: $-\frac{8}{35} > -1$, thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{8}{35}$. b) $2^{x^2} \cdot 4^x - 256 = 0$ $2^{x^2} \cdot (2^2)^x - 256 = 0$ $2^{x^2} \cdot 2^{2x} - 256 = 0$ $2^{x^2 + 2x} - 256 = 0$ $2^{x^2 + 2x} = 256$ $2^{x^2 + 2x} = 2^8$ $x^2 + 2x = 8$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ $(x + 4)(x - 2) = 0$ $x = -4$ hoặc $x = 2$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = -4$ hoặc $x = 2$. Câu 2: a) Điều kiện: $1 - x > 0$ và $2x + 3 > 0$, suy ra $-\frac{3}{2} < x < 1$. Bất phương trình tương đương: $$\log_3(1-x) + \log_3(2x+3) > 1$$ $$\log_3[(1-x)(2x+3)] > \log_3(3)$$ Do đó: $$(1-x)(2x+3) > 3$$ $$2x + 3 - 2x^2 - 3x > 3$$ $$-2x^2 - x > 0$$ $$x(2x + 1) < 0$$ Giải bất phương trình này ta có: $$-\frac{1}{2} < x < 0$$ Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có nghiệm của bất phương trình là: $$-\frac{1}{2} < x < 0$$ b) Bất phương trình: $$2^x - 3^{x+1} > 0$$ $$2^x > 3^{x+1}$$ $$2^x > 3 \cdot 3^x$$ $$\left(\frac{2}{3}\right)^x > 3$$ Lấy logarit cơ số $\frac{2}{3}$ hai vế: $$x < \log_{\frac{2}{3}}(3)$$ Vậy nghiệm của bất phương trình là: $$x < \log_{\frac{2}{3}}(3)$$ Câu 3: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc - Thay $x=3$ vào phương trình hàm số để tìm tung độ của điểm tiếp xúc: $$ y = \frac{2(3) + 3}{3 - 2} = \frac{6 + 3}{1} = 9 $$ - Vậy điểm tiếp xúc là $(3, 9)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số - Ta có $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$. - Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(2x + 3)'(x - 2) - (2x + 3)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2(x - 2) - (2x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 3}{(x - 2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2} $$ Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại điểm tiếp xúc - Thay $x = 3$ vào đạo hàm: $$ y'(3) = \frac{-7}{(3 - 2)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7 $$ - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $k = -7$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$ - Thay $(x_0, y_0) = (3, 9)$ và $k = -7$ vào phương trình trên: $$ y - 9 = -7(x - 3) $$ $$ y - 9 = -7x + 21 $$ $$ y = -7x + 30 $$ Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 là: $$ y = -7x + 30 $$ Câu 4: Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $M(1; \frac{1}{3})$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là $y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x + 1$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' + (x^2)' - (2x)' + (1)' $$ $$ y' = x^2 + 2x - 2 $$ 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $M(1; \frac{1}{3})$: Thay $x = 1$ vào đạo hàm $y'$: $$ y'(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 + 2 - 2 = 1 $$ Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M$ là $k = 1$. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ có dạng: $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$ Tại điểm $M(1; \frac{1}{3})$, ta có $x_0 = 1$ và $y_0 = \frac{1}{3}$. Thay vào phương trình trên: $$ y - \frac{1}{3} = 1(x - 1) $$ $$ y - \frac{1}{3} = x - 1 $$ $$ y = x - 1 + \frac{1}{3} $$ $$ y = x - \frac{3}{3} + \frac{1}{3} $$ $$ y = x - \frac{2}{3} $$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $M(1; \frac{1}{3})$ là: $$ y = x - \frac{2}{3} $$ Câu 5: Để chứng minh rằng $AI$ vuông góc với mặt phẳng $(BB'C'C)$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các tính chất của lăng trụ tam giác đều: - Lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều $ABC$. - Các cạnh bên $AA'$, $BB'$, $CC'$ vuông góc với đáy và có độ dài bằng nhau. 2. Xác định vị trí của điểm I: - $I$ là trung điểm của $BC$. 3. Chứng minh $AI$ vuông góc với $BC$: - Vì $ABC$ là tam giác đều, nên đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ cũng là đường trung trực của $BC$. Do đó, $AI$ vuông góc với $BC$. 4. Chứng minh $AI$ vuông góc với $BB'$: - Vì $BB'$ vuông góc với đáy $ABC$, nên $BB'$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy $ABC$, bao gồm cả $AI$. 5. Kết luận: - $AI$ vuông góc với $BC$ và $AI$ vuông góc với $BB'$. - $BC$ và $BB'$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(BB'C'C)$. - Theo định lý, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Do đó, ta kết luận rằng $AI$ vuông góc với mặt phẳng $(BB'C'C)$. Câu 6: Để chứng minh rằng $ SK $ vuông góc với $ CD $, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - $ H $ là trung điểm của $ AB $. - $ K $ là trung điểm của $ CD $. - $ SH $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $. 2. Chứng minh $ SH $ vuông góc với $ CD $: - Vì $ SH $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $, nên $ SH $ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ (ABCD) $. - $ CD $ nằm trong mặt phẳng $ (ABCD) $, do đó $ SH $ vuông góc với $ CD $. 3. Chứng minh $ HK $ vuông góc với $ CD $: - $ ABCD $ là hình chữ nhật, do đó $ AB \parallel CD $. - $ H $ và $ K $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $, suy ra $ HK \parallel AD $. - Vì $ AD $ vuông góc với $ CD $ (do $ ABCD $ là hình chữ nhật), nên $ HK $ cũng vuông góc với $ CD $. 4. Chứng minh $ SK $ vuông góc với $ CD $: - $ SK $ nằm trong mặt phẳng $ (SHK) $. - $ SH $ vuông góc với $ CD $ (đã chứng minh ở bước 2). - $ HK $ vuông góc với $ CD $ (đã chứng minh ở bước 3). - Theo tính chất của đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng một mặt phẳng, ta có $ SK $ vuông góc với $ CD $. Vậy, ta đã chứng minh được $ SK $ vuông góc với $ CD $. Câu 7: Để chứng minh mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (AHC), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường thẳng vuông góc: - Ta biết rằng $SA \perp$ đáy $ABC$, do đó $SA \perp AB$ và $SA \perp BC$. - Mặt khác, $AH \perp SB$. 2. Chứng minh $AH \perp$ mặt phẳng $SBC$: - Vì $SA \perp$ đáy $ABC$, nên $SA \perp BC$. - $AH \perp SB$ đã được cho. - Do đó, $AH$ vuông góc với hai đường thẳng $SB$ và $BC$ nằm trong mặt phẳng $SBC$. Điều này chứng tỏ $AH \perp$ mặt phẳng $SBC$. 3. Chứng minh $AH \subset$ mặt phẳng $AHC$: - $AH$ nằm trong mặt phẳng $AHC$ vì $H$ là điểm thuộc $SB$ và $A$ là đỉnh của chóp. 4. Kết luận: - Vì $AH \perp$ mặt phẳng $SBC$ và $AH \subset$ mặt phẳng $AHC$, nên theo định lý về mặt phẳng vuông góc với nhau, ta có mặt phẳng $SBC$ vuông góc với mặt phẳng $AHC$. Vậy, ta đã chứng minh được $(SBC) \perp (AHC)$. Câu 8: Trước tiên, ta cần tìm chiều cao SA của hình chóp SABC. 1. Tìm cạnh AB và BC của tam giác ABC: Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, nên: $$ AB = BC = \frac{a}{\sqrt{2}} $$ 2. Tính diện tích đáy ABC: Diện tích tam giác ABC là: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} $$ 3. Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (SAB): Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB. Ta có: $$ CH = \frac{a}{2} $$ Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với AB và SA vuông góc với CH. Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc giữa SC và SH. 4. Tính SA: Trong tam giác vuông SCA, ta có: $$ \tan(30^\circ) = \frac{CH}{SA} = \frac{\frac{a}{2}}{SA} $$ $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{a}{2}}{SA} $$ $$ SA = \frac{a}{2} \times \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$ 5. Tính thể tích khối chóp SABC: Thể tích khối chóp SABC là: $$ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{4} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{24} $$ Vậy thể tích khối chóp SABC là: $$ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{3}}{24}} $$