giúppppppppppp nng tác ơn thì THPTTQ gồm 3 người có đủ 2 môn Toàn và Vật,b) và phải c gioo Viên nam và giáo viên nữ trong đonn,Câu 4. Cho hàm số $y=x^2-x-2$ có đồ thị là parabol (P).,$a)~(P)$ có trục đối xứng là $x=\frac{-1}2.$,b)Tọa độ đỉnh của Parabol (P) là $I(\frac12;\frac94).$,c)Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\frac12),$ đồng biến trên $(\frac12;+\infty).$,d)(P) cắt đường thẳng $y=2x-1$ tại hai điểm có hoành độ $x_1,x_2.$ Khi đó $x_1+x_2=6.$,Câu 5. a) Khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x+4y+1=0$ là: 8.,b) Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn $(C):~x^2+y^2+6x-4y-3=0$ có tâm là $I(-3;2),$ bán kính bằng 4 .,c) Đường tròn (C) có tâm $I(-2;3)$ và đi qua $M(1;3)$ có phương trình là: $(x+2)^2+(y-3)^2=3$,d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng đi qua điểm $M(3;-2)$ và vuông góc với đường thẳng,$\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=1+3t\end{array} ight.$ có phương trình tổng quát là: $2x+3y-12=0.$,Câu 6. Trong mp Oxy , cho đường tròn $(C):~(x-2)^2+(y+3)^2=25$ và đường thẳng $\Delta:~x+y+5=0.$ Các,mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm $M(-1;1)$ là: $3x-4y+7=0.$,b) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) đến đường thẳng $\Delta$ bằng $3\sqrt2.$,c) Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn (C) và vuông góc với $\Delta$ có phương trình $x-y+5=0.$,d) Đường tròn (C') tâm $I^\prime(3;-2)$ và cắt đường thẳng $\Delta$ theo dây cung có độ dài bằng $8\sqrt2$ có phương,trình: $(x-3)^2+(y+2)^2=50.Đ$,Câu 7: Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x+y-1=0$,a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(2;1).$,b) Điểm $M(1;-1)$ thuộc đường thẳng $\Delta.$,c) Đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x-2y-2=0.$,d) Đường tròn tâm $N(2;2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $(x-2)^2+(y-2)^2=5.$,Câu 8: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) tâm $I(1;2)$ và cắt đường thẳng $\Delta:~3x+4y-6=0$,tại hai điểm A; B sao cho $AB=4.$,a) Khoảng cách từ tâm 1 đến đường thẳng $\Delta$ bằng 2.,b) Bán kính đường tròn bằng $\sqrt5.$,c) Phương trình đường tròn $(C):~x^2+y^2-2x-4y=0.$,d) Điểm $M(3;1)$ nằm trong đường tròn (C) .,Câu 9: Lớp 10A có 30 học sinh gồm 13 nữ và 17 nam, trong đó bạn Khang (nam) làm lớp trưởng.,a) Chọn ra hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia vào Đội cờ đỏ. Số cách chọn là 220 cách.,b) Chọn ra ba bạn trực nhật lớp, trong đó phân công một bạn quét lớp, một bạn quét sân và một bạn lau,bảng. Số cách chọn là 24360.,c) Chọn ra ba bạn tham gia hoạt động thiện nguyên, trong đó phải có lớp trưởng và có ít nhất một nữ. Số,cách chọn là 286.,d) Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kì yếu trong đó có 14 bạn đứng hàng trước và 16 bạn đứng hàng sau. Số,cách sắp xếp là 14!-16!.,Trang 9

Question

giúppppppppppp nng tác ơn thì THPTTQ gồm 3 người có đủ 2 môn Toàn và Vật,b) và phải c  gioo Viên nam và giáo viên nữ trong đonn,Câu 4. Cho hàm số $y=x^2-x-2$ có đồ thị là parabol (P).,$a)~(P)$ có trục đối xứng là $x=\frac{-1}2.$,b)Tọa độ đỉnh của Parabol (P) là $I(\frac12;\frac94).$,c)Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\frac12),$ đồng biến trên $(\frac12;+\infty).$,d)(P) cắt đường thẳng $y=2x-1$ tại hai điểm có hoành độ $x_1,x_2.$ Khi đó $x_1+x_2=6.$,Câu 5. a) Khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x+4y+1=0$ là: 8.,b) Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn $(C):~x^2+y^2+6x-4y-3=0$ có tâm là $I(-3;2),$ bán kính bằng 4 .,c) Đường tròn (C) có tâm $I(-2;3)$ và đi qua $M(1;3)$ có phương trình là: $(x+2)^2+(y-3)^2=3$,d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng đi qua điểm $M(3;-2)$ và vuông góc với đường thẳng,$\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=1+3t\end{array}ight.$ có phương trình tổng quát là: $2x+3y-12=0.$,Câu 6. Trong mp Oxy , cho đường tròn $(C):~(x-2)^2+(y+3)^2=25$ và đường thẳng $\Delta:~x+y+5=0.$ Các,mệnh đề sau đúng hay sai?,a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm $M(-1;1)$ là: $3x-4y+7=0.$,b) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) đến đường thẳng $\Delta$ bằng $3\sqrt2.$,c) Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn (C) và vuông góc với $\Delta$ có phương trình $x-y+5=0.$,d) Đường tròn (C') tâm $I^\prime(3;-2)$ và cắt đường thẳng $\Delta$ theo dây cung có độ dài bằng $8\sqrt2$ có phương,trình: $(x-3)^2+(y+2)^2=50.Đ$,Câu 7: Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x+y-1=0$,a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(2;1).$,b) Điểm $M(1;-1)$ thuộc đường thẳng $\Delta.$,c) Đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x-2y-2=0.$,d) Đường tròn tâm $N(2;2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $(x-2)^2+(y-2)^2=5.$,Câu 8: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) tâm $I(1;2)$ và cắt đường thẳng $\Delta:~3x+4y-6=0$,tại hai điểm A; B sao cho $AB=4.$,a) Khoảng cách từ tâm 1 đến đường thẳng $\Delta$ bằng 2.,b) Bán kính đường tròn bằng $\sqrt5.$,c) Phương trình đường tròn $(C):~x^2+y^2-2x-4y=0.$,d) Điểm $M(3;1)$ nằm trong đường tròn (C) .,Câu 9: Lớp 10A có 30 học sinh gồm 13 nữ và 17 nam, trong đó bạn Khang (nam) làm lớp trưởng.,a) Chọn ra hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia vào Đội cờ đỏ. Số cách chọn là 220 cách.,b) Chọn ra ba bạn trực nhật lớp, trong đó phân công một bạn quét lớp, một bạn quét sân và một bạn lau,bảng. Số cách chọn là 24360.,c) Chọn ra ba bạn tham gia hoạt động thiện nguyên, trong đó phải có lớp trưởng và có ít nhất một nữ. Số,cách chọn là 286.,d) Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kì yếu trong đó có 14 bạn đứng hàng trước và 16 bạn đứng hàng sau. Số,cách sắp xếp là 14!-16!.,Trang 9

Accepted Answer

Câu 4.
a) Trục đối xứng của parabol $ y = x^2 - x - 2 $ là $ x = -\frac{b}{2a} $. Với $ a = 1 $ và $ b = -1 $:
$$ x = -\frac{-1}{2 \times 1} = \frac{1}{2} $$
Vậy trục đối xứng của (P) là $ x = \frac{1}{2} $.

b) Tọa độ đỉnh của parabol $ y = x^2 - x - 2 $ là $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) $. Ta đã tính $ x = \frac{1}{2} $, giờ tính $ y $:
$$ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} $$
Vậy tọa độ đỉnh của (P) là $ I \left( \frac{1}{2}, -\frac{9}{4} \right) $.

c) Vì $ a = 1 > 0 $, nên hàm số $ y = x^2 - x - 2 $ nghịch biến trên $ (-\infty, \frac{1}{2}) $ và đồng biến trên $ (\frac{1}{2}, +\infty) $.

d) Để tìm giao điểm của (P) với đường thẳng $ y = 2x - 1 $, ta giải phương trình:
$$ x^2 - x - 2 = 2x - 1 $$
$$ x^2 - x - 2 - 2x + 1 = 0 $$
$$ x^2 - 3x - 1 = 0 $$

Áp dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai $ x^2 - 3x - 1 = 0 $:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3 $$

Vậy $ x_1 + x_2 = 3 $.

Đáp án:
a) SAI
b) SAI
c) ĐÚNG
d) SAI

Câu 5.
a) Khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x+4y+1=0$ là:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{8}{5} $$

Vậy khoảng cách từ điểm $M(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là $\frac{8}{5}$, không phải 8.

b) Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn $(C):~x^2+y^2+6x-4y-3=0$ có tâm là $I(-3;2),$ bán kính bằng 4:
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn, ta viết lại phương trình dưới dạng chuẩn:
$$ x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0 $$
$$ (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) = 3 $$
$$ (x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 = 3 $$
$$ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 $$

Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là $I(-3; 2)$ và bán kính là $\sqrt{16} = 4$. Vậy khẳng định này đúng.

c) Đường tròn (C) có tâm $I(-2;3)$ và đi qua $M(1;3)$ có phương trình là: $(x+2)^2+(y-3)^2=3$:
Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $I(-2;3)$ đến điểm $M(1;3)$:
$$ r = \sqrt{(1 + 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 $$

Phương trình đường tròn sẽ là:
$$ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 $$
$$ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 $$

Vậy phương trình đúng là $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$, không phải $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 3$.

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm $M(3;-2)$ và vuông góc với đường thẳng $\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=1+3t\end{array}\right.$ có phương trình tổng quát là: $2x+3y-12=0$:
Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương là $(2, 3)$. Đường thẳng vuông góc với nó sẽ có vectơ chỉ phương là $(-3, 2)$.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(3, -2)$ và có vectơ chỉ phương $(-3, 2)$ là:
$$ 2(x - 3) - 3(y + 2) = 0 $$
$$ 2x - 6 - 3y - 6 = 0 $$
$$ 2x - 3y - 12 = 0 $$

Vậy phương trình đúng là $2x - 3y - 12 = 0$, không phải $2x + 3y - 12 = 0$.

Kết luận:
a) Sai
b) Đúng
c) Sai
d) Sai

Câu 6.
a) Đúng vì:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là: $3x-4y+7=0.$
b) Đúng vì:
Khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) đến đường thẳng $\Delta$ là $3\sqrt2.$
c) Đúng vì:
Đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn (C) và vuông góc với $\Delta$ có phương trình $x-y+5=0.$
d) Đúng vì:
Đường tròn (C') tâm $I^\prime(3;-2)$ và cắt đường thẳng $\Delta$ theo dây cung có độ dài bằng $8\sqrt2$ có phương
trình: $(x-3)^2+(y+2)^2=50.$

Câu 7:
a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(2;1).$
Đúng vì phương trình đường thẳng $\Delta$ là $2x + y - 1 = 0$, suy ra véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta} = (2;1)$.

b) Điểm $M(1;-1)$ thuộc đường thẳng $\Delta.$
Thay tọa độ điểm $M(1;-1)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$:
$$2(1) + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0.$$
Vậy điểm $M(1;-1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Đúng.

c) Đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x - 2y - 2 = 0.$
Đường thẳng $\Delta$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_\Delta} = (2;1)$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ sẽ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;-2)$.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;-2)$ là:
$$1(x - 0) - 2(y - 1) = 0 \Rightarrow x - 2y + 2 = 0.$$
Vậy phương trình đúng là $x - 2y + 2 = 0$. Sai.

d) Đường tròn tâm $N(2;2)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có phương trình $(x-2)^2+(y-2)^2=5.$
Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $N(2;2)$ đến đường thẳng $\Delta$. Ta tính khoảng cách này:
$$d = \frac{|2(2) + 1(2) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.$$
Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{5}$, suy ra phương trình đường tròn là $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 5$. Đúng.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Câu 8:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

a) Khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ \Delta $ bằng 2.

Khoảng cách từ một điểm $ (x_0, y_0) $ đến đường thẳng $ ax + by + c = 0 $ được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
- Tâm $ I(1, 2) $
- Đường thẳng $ \Delta: 3x + 4y - 6 = 0 $

Thay vào công thức:
$$ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1 $$

Như vậy, khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ \Delta $ là 1, không phải 2. Do đó, khẳng định a) là sai.

b) Bán kính đường tròn bằng $ \sqrt{5} $.

Ta biết rằng đoạn thẳng $ AB $ là dây cung của đường tròn và có độ dài $ AB = 4 $. Khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ \Delta $ là 1. Ta sử dụng công thức tính bán kính $ R $ của đường tròn khi biết khoảng cách từ tâm đến dây cung và độ dài dây cung:
$$ R = \sqrt{d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2} $$
$$ R = \sqrt{1^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$

Do đó, khẳng định b) là đúng.

c) Phương trình đường tròn $ (C): x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 $.

Phương trình tổng quát của đường tròn tâm $ (h, k) $ và bán kính $ R $ là:
$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 $$

Áp dụng vào bài toán:
- Tâm $ I(1, 2) $
- Bán kính $ R = \sqrt{5} $

Phương trình đường tròn là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 $$
$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 $$

Mở rộng phương trình:
$$ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5 $$
$$ x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 5 $$
$$ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 $$

Do đó, khẳng định c) là đúng.

d) Điểm $ M(3, 1) $ nằm trong đường tròn $ (C) $.

Để kiểm tra điểm $ M(3, 1) $ có nằm trong đường tròn hay không, ta thay tọa độ của $ M $ vào phương trình đường tròn:
$$ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 $$

Thay $ x = 3 $ và $ y = 1 $:
$$ 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 - 4 \cdot 1 = 9 + 1 - 6 - 4 = 0 $$

Vì kết quả bằng 0, nên điểm $ M(3, 1) $ nằm trên đường tròn, không phải trong đường tròn. Do đó, khẳng định d) là sai.

Kết luận:
- a) Sai
- b) Đúng
- c) Đúng
- d) Sai

Câu 9:
a) Chọn ra hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia vào Đội cờ đỏ.

- Số cách chọn 1 nam từ 17 nam là: $ C_{17}^{1} = 17 $
- Số cách chọn 1 nữ từ 13 nữ là: $ C_{13}^{1} = 13 $

Số cách chọn 2 bạn gồm 1 nam và 1 nữ là:
$$ 17 \times 13 = 221 $$

Đáp số: 221 cách

b) Chọn ra ba bạn trực nhật lớp, trong đó phân công một bạn quét lớp, một bạn quét sân và một bạn lau bảng.

- Số cách chọn 3 bạn từ 30 học sinh là: $ C_{30}^{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060 $
- Số cách phân công 3 công việc cho 3 bạn là: $ P_3^3 = 3! = 6 $

Số cách chọn 3 bạn và phân công công việc là:
$$ 4060 \times 6 = 24360 $$

Đáp số: 24360 cách

c) Chọn ra ba bạn tham gia hoạt động thiện nguyện, trong đó phải có lớp trưởng và có ít nhất một nữ.

- Số cách chọn 2 bạn từ 29 học sinh còn lại là: $ C_{29}^{2} = \frac{29 \times 28}{2 \times 1} = 406 $
- Số cách chọn 2 bạn từ 16 nam còn lại là: $ C_{16}^{2} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120 $

Số cách chọn 3 bạn có ít nhất 1 nữ là:
$$ 406 - 120 = 286 $$

Đáp số: 286 cách

d) Sắp xếp học sinh để chụp ảnh kì yếu trong đó có 14 bạn đứng hàng trước và 16 bạn đứng hàng sau.

- Số cách chọn 14 bạn từ 30 học sinh là: $ C_{30}^{14} $
- Số cách sắp xếp 14 bạn trong hàng trước là: $ P_{14}^{14} = 14! $
- Số cách sắp xếp 16 bạn trong hàng sau là: $ P_{16}^{16} = 16! $

Số cách sắp xếp tổng cộng là:
$$ C_{30}^{14} \times 14! \times 16! $$

Đáp số: $ C_{30}^{14} \times 14! \times 16! $