jdisheudridhrhkdjhdtjdhrkhdhxr

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định không gian mẫu Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp, mỗi lần gieo có 6 kết quả có thể xảy ra. Do đó, tổng số kết quả trong không gian mẫu là: \[ 6 \times 6 = 36 \] Bước 2: Xác định biến cố A và B - Biến cố A: "Tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo lớn hơn 7". - Biến cố B: "Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau". Bước 3: Xác định các kết quả thuộc biến cố A và B Biến cố A: Các kết quả có tổng số chấm lớn hơn 7 là: \[ (2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \] Số lượng kết quả thuộc biến cố A là 15. Biến cố B: Các kết quả có số chấm xuất hiện khác nhau là: \[ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) \] Số lượng kết quả thuộc biến cố B là 30. Bước 4: Tính xác suất của các biến cố Xác suất của biến cố A: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng kết quả thuộc biến cố A}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \] Xác suất của biến cố B: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng kết quả thuộc biến cố B}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \] Bước 5: Xác định các kết quả thuộc biến cố AB Biến cố AB là biến cố cả hai lần gieo có tổng số chấm lớn hơn 7 và số chấm xuất hiện khác nhau. Các kết quả thuộc biến cố AB là: \[ (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) \] Số lượng kết quả thuộc biến cố AB là 12. Xác suất của biến cố AB: \[ P(AB) = \frac{\text{số lượng kết quả thuộc biến cố AB}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \] Bước 6: Xác định các kết quả thuộc biến cố A ∪ B Biến cố A ∪ B là biến cố ít nhất một trong hai lần gieo có tổng số chấm lớn hơn 7 hoặc số chấm xuất hiện khác nhau. Các kết quả thuộc biến cố A ∪ B là tất cả các kết quả trừ đi các kết quả thuộc biến cố $\overline{A} \cap \overline{B}$ (tức là cả hai lần gieo có tổng số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 7 và số chấm xuất hiện giống nhau). Các kết quả thuộc biến cố $\overline{A} \cap \overline{B}$ là: \[ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) \] Số lượng kết quả thuộc biến cố $\overline{A} \cap \overline{B}$ là 6. Số lượng kết quả thuộc biến cố A ∪ B là: \[ 36 - 6 = 30 \] Xác suất của biến cố A ∪ B: \[ P(A \cup B) = \frac{\text{số lượng kết quả thuộc biến cố A ∪ B}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \] Bước 7: Xác định các kết quả thuộc biến cố A $\overline{B}$ Biến cố A $\overline{B}$ là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo lớn hơn 7 và số chấm xuất hiện giống nhau. Các kết quả thuộc biến cố A $\overline{B}$ là: \[ (4,4), (5,5), (6,6) \] Số lượng kết quả thuộc biến cố A $\overline{B}$ là 3. Xác suất của biến cố A $\overline{B}$: \[ P(A \overline{B}) = \frac{\text{số lượng kết quả thuộc biến cố A $\overline{B}$}}{\text{số lượng kết quả trong không gian mẫu}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Bước 8: Kiểm tra tính độc lập của hai biến cố A và B Hai biến cố A và B độc lập nếu: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Ta có: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{12} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{72} \neq \frac{1}{3} \] Do đó, hai biến cố A và B không độc lập với nhau. Đáp số: \[ a)~P(AB) = \frac{1}{3} \] \[ b)~P(A \cup B) = \frac{5}{6} \] \[ c)~P(A \overline{B}) = \frac{1}{12} \] \[ d)~Hai~biến~cố~A~và~B~không~độc~lập~với~nhau. \] Câu 2. a) Ta có \( SAB \perp (ABC) \) và \( SAC \perp (ABC) \). Vì \( AB \cap AC = A \), nên \( SC \perp (ABC) \). Do đó, mệnh đề này là đúng. b) Ta có \( SA \perp (ABC) \) và \( AH \subset (ABC) \), suy ra \( SA \perp AH \). Mặt khác, \( O \) là hình chiếu của \( A \) trên \( (SBC) \), do đó \( AO \perp (SBC) \). Điều này chứng tỏ \( (SAH) \perp (SBC) \). Mệnh đề này là đúng. c) Ta đã biết \( AO \perp (SBC) \) và \( SC \subset (SBC) \), suy ra \( AO \perp SC \). Mặt khác, ta cũng đã chứng minh \( SC \perp (ABC) \) và \( AO \subset (ABC) \), suy ra \( SC \perp AO \). Kết hợp hai điều này, ta có \( O \in SC \). Mệnh đề này là đúng. d) Góc giữa \( (SBC) \) và \( (ABC) \) là góc giữa đường thẳng \( SB \) và \( (ABC) \). Vì \( SAB \perp (ABC) \), nên góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \) là góc \( SBA \). Mệnh đề này là đúng. Đáp số: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 3. Phương pháp giải: - Xác định các hàm số dựa vào đồ thị. - So sánh các giá trị của a, b, c dựa trên đồ thị. - Kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề dựa trên so sánh các giá trị của a, b, c. Lời giải chi tiết: 1. Xác định các hàm số từ đồ thị: - Đồ thị của $y = \log_a x$ đi qua điểm $(1, 0)$ và tăng dần, suy ra $a > 1$. - Đồ thị của $y = -b^x$ đi qua điểm $(0, -1)$ và giảm dần, suy ra $0 < b < 1$. - Đồ thị của $y = c^x$ đi qua điểm $(0, 1)$ và tăng dần, suy ra $c > 1$. 2. So sánh các giá trị của a, b, c: - Từ đồ thị, ta thấy $c > a > 1$ và $0 < b < 1$. 3. Kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề: a) $\log_c(a + b) > 1 + \log_c 2$ - Vì $c > a > 1$, nên $a + b > 1 + b > 1$. - Do đó, $\log_c(a + b) > \log_c 1 = 0$. - Mặt khác, $1 + \log_c 2 > 1$ vì $\log_c 2 > 0$ (do $c > 1$). - Vậy $\log_c(a + b) > 1 + \log_c 2$ là sai. b) $\log_{ab} c > 0$ - Vì $0 < b < 1$ và $a > 1$, nên $0 < ab < a$. - Do đó, $ab < c$ (vì $c > a$). - Suy ra $\log_{ab} c > 0$ là đúng. c) $\log_a \frac{b}{c} > 0$ - Vì $0 < b < 1$ và $c > 1$, nên $0 < \frac{b}{c} < 1$. - Do đó, $\log_a \frac{b}{c} < 0$ (vì $a > 1$). - Vậy $\log_a \frac{b}{c} > 0$ là sai. d) $\log_b \frac{a}{c} < 0$ - Vì $c > a > 1$, nên $0 < \frac{a}{c} < 1$. - Do đó, $\log_b \frac{a}{c} < 0$ (vì $0 < b < 1$). - Vậy $\log_b \frac{a}{c} < 0$ là đúng. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng