HhhhhhhghH PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3,$ biết rằng khi cắt vật,thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x~(1\leq x\leq3)$ thì được mặt cắt là,một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2x.,Câu 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1,y=x^4+x-1,x=-1,x=1$,(làm tròn đến hai chữ số thập phân),Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac2{-5}$ và $\Delta_2:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$,Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả,đến hàng đơn vị)?,Câu 4. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng,(Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(8,8,0)$,. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)),bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 5. Trong khối pha lê hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của,hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với,gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của,mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là $x^2+y^2+x^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của,$a+b+c+d.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Diện tích S(x) của mặt cắt qua điểm có hoành độ x là:
$$ S(x) = 3x \times 2x = 6x^2 $$

Thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $ x = 1 $ và $ x = 3 $ là:
$$ V = \int_{1}^{3} S(x) \, dx = \int_{1}^{3} 6x^2 \, dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_{1}^{3} 6x^2 \, dx = 6 \int_{1}^{3} x^2 \, dx = 6 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = 6 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 6 \left( \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \right) = 6 \left( 9 - \frac{1}{3} \right) = 6 \left( \frac{27 - 1}{3} \right) = 6 \times \frac{26}{3} = 52 $$

Vậy thể tích V của phần vật thể là:
$$ V = 52 $$

Câu 2.
Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng cách giữa hai đường cong:
   Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường $ y = x^2 + x - 1 $ và $ y = x^4 + x - 1 $. Khoảng cách này là:
   $$
   f(x) = (x^2 + x - 1) - (x^4 + x - 1) = x^2 - x^4
   $$

2. Tính diện tích bằng tích phân:
   Diện tích $ A $ của hình phẳng giới hạn bởi các đường trên từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ là:
   $$
   A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx
   $$

3. Tính tích phân:
   Ta tính từng phần của tích phân:
   $$
   \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
   $$
   $$
   \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}
   $$

Do đó:
   $$
   A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}
   $$

4. Làm tròn kết quả:
   $$
   A \approx 0.27
   $$

Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $ là $ 0.27 $ (đơn vị diện tích).

Câu 3.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng.

Vector chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$.

Vector chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$.

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vector chỉ phương của chúng. Ta tính cosin của góc này bằng công thức:

$$
\cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}
$$

Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2$:

$$
\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7
$$

Tiếp theo, ta tính độ dài của các vector:

$$
|\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$

$$
|\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$

Bây giờ, ta tính cosin của góc:

$$
\cos \theta = \frac{7}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{7}{50} = 0.14
$$

Cuối cùng, ta tìm góc $\theta$ bằng cách lấy arccos của 0.14:

$$
\theta = \arccos(0.14) \approx 81.79^\circ
$$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có:

$$
\theta \approx 82^\circ
$$

Vậy giá trị của $a$ là 82.

Đáp số: $a = 82$.

Câu 4.
Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy):
   Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là $ z = 0 $. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $ \vec{n} = (0, 0, 1) $.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $ \overrightarrow{AB} $:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (8 - 3, 8 + 2, 0 - 3) = (5, 10, -3)
   $$

3. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy):
   Gọi góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy) là $ \theta $. Ta có:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\vec{n}|}
   $$
   Trong đó:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = (5, 10, -3) \cdot (0, 0, 1) = 0 + 0 - 3 = -3
   $$
   $$
   |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134}
   $$
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
   $$
   Vậy:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{|-3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}}
   $$

4. Tính góc $ \theta $:
   $$
   \theta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right)
   $$
   Sử dụng máy tính để tính giá trị của $ \theta $:
   $$
   \theta \approx 13^\circ
   $$

Do đó, giá trị của $ a $ là $ 13^\circ $.

Đáp số: $ a = 13^\circ $

Câu 5.
Để tìm phương trình của mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
   - Tâm của mặt cầu nằm ở trung điểm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.
   - Vì hình lập phương có cạnh 8 cm, tâm của nó sẽ là $(4, 4, 4)$.
   - Mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương một khoảng 1 cm, nên bán kính của mặt cầu là $\frac{8}{2} - 1 = 3$ cm.

2. Viết phương trình mặt cầu:
   Phương trình mặt cầu có tâm $(h, k, l)$ và bán kính $r$ là:
   $$
   (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
   $$
   Thay tâm $(4, 4, 4)$ và bán kính $3$ vào phương trình trên, ta có:
   $$
   (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 3^2
   $$
   $$
   (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
   $$

3. Rаспаковываем квадраты и приводим к стандартному виду:
   $$
   (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
   $$
   $$
   (y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16
   $$
   $$
   (z - 4)^2 = z^2 - 8z + 16
   $$
   Складывая эти выражения, получаем:
   $$
   x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 9
   $$
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 48 = 9
   $$
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 39 = 0
   $$

4. Сравниваем с заданным видом уравнения:
   Уравнение имеет вид:
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
   $$
   Сопоставляя коэффициенты, получаем:
   $$
   2a = -8 \Rightarrow a = -4
   $$
   $$
   2b = -8 \Rightarrow b = -4
   $$
   $$
   2c = -8 \Rightarrow c = -4
   $$
   $$
   d = 39
   $$

5. Вычисляем сумму коэффициентов:
   $$
   a + b + c + d = -4 + (-4) + (-4) + 39 = 27
   $$

Ответ: $a + b + c + d = 27$.