nhbnnhhhhhhh $\overrightarrow{u_1}=(2;2;-7).$ $\overrightarrow{D.}~\overrightarrow{u_d}=(2;-2;-7).$,Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình,chính tắc của đường thẳng?,$A.~\frac{x-9}7=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-6}{-2}.$ $B.~\frac{x-2}3=\frac{y-1}2=\frac{z-5}4.$,$C.~\frac{x-6}3=\frac{y-3}4=\frac{z-5}2.$ $D.~\frac{x-1}y=\frac{y-2}5=\frac{z-3}4.$,Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d, d' có vectơ chỉ,phương lần lượt là $\overrightarrow u=(a;b;c),\overrightarrow u=(a;b;c^\prime).$ Côsin của góc giữa d và d' bằng,$A.~\frac{aa^\prime+bb^\prime+c^\prime}{\sqrt{a^2+b^2+c^2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$ $B.~\frac{|aa^\prime+bb^\prime+c^\prime|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$,$C.~\frac{|ad^\prime+bb^\prime+cc^\prime|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2\sqrt{a^2+b^2+c^2}+c^2}}.$ $D.~\frac{|ab+bb^\prime+cc^\prime|}{\sqrt{a+b+c\sqrt{a^\prime+b^\prime+c^\prime}}}.$,Câu 10. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c),$ bán kính R có,dạng?,$A.~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$ $B.~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R.$,$C.~(x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2=R^2.$ $D.~(x+a)^2+(y+b)^2+(x+c)^2=R$,Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x+1)^2+y^2+(x-3)^2=4.$ Tọa độ tâm I,và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là,$A.~I(1;0;3),~R=4.$ $B.~I(1;0;3),~R=2.$,$C.~I(-1,0,3),R=2.$ $D.~I(-1;0;3),~R=4.$,Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~6x+8y+10z-1=0$ và,đường thẳng $d:~\frac{x-2}3=\frac{y+1}4=\frac{z-5}5.$ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là,$A.~90^0.$ $B.~45^0.$ $C.~60^0.$ $D.~30^0.$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý,a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x^2+1}x$ trên khoảng $(0;+\infty).$,$a)~F(x)=f^\prime(x),\forall x\in(0;+\infty).$,$b)~F(x)=x^2+\ln x+2024.$,$c)~F(2)=1.$,d) Biết $F(1)=5,$ khi đó $F(e)=e^2-5.$

Question

Accepted Answer

Câu 8:
Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian có dạng:
$$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$
trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ một điểm trên đường thẳng và $(a, b, c)$ là các số thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương trình nào đúng theo dạng này:

A. $\frac{x-9}{7} = \frac{y-8}{-1} = \frac{z-6}{-2}$
- Đây là dạng chính tắc với điểm $(9, 8, 6)$ và vectơ chỉ phương $(7, -1, -2)$.

B. $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-5}{4}$
- Đây là dạng chính tắc với điểm $(2, 1, 5)$ và vectơ chỉ phương $(3, 2, 4)$.

C. $\frac{x-6}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-5}{2}$
- Đây là dạng chính tắc với điểm $(6, 3, 5)$ và vectơ chỉ phương $(3, 4, 2)$.

D. $\frac{x-1}{y} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$
- Đây không phải dạng chính tắc vì mẫu số của $\frac{x-1}{y}$ không phải là hằng số.

Như vậy, cả ba phương án A, B và C đều đúng theo dạng chính tắc của phương trình đường thẳng. Tuy nhiên, dựa vào yêu cầu của câu hỏi, ta chọn phương án đầu tiên đúng theo dạng chính tắc.

Đáp án: A. $\frac{x-9}{7} = \frac{y-8}{-1} = \frac{z-6}{-2}$.

Câu 9:
Để tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong không gian, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc-tơ chỉ phương của chúng.

Giả sử hai đường thẳng $d$ và $d'$ có véc-tơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u} = (a; b; c)$ và $\overrightarrow{u'} = (a'; b'; c')$.

Cosin của góc giữa hai véc-tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ được tính theo công thức:
$$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u'}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{u'}|} $$

Trong đó:
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u'}$ là tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$:
$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u'} = aa' + bb' + cc' $$

- $|\overrightarrow{u}|$ là độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{u}$:
$$ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$

- $|\overrightarrow{u'}|$ là độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{u'}$:
$$ |\overrightarrow{u'}| = \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2} $$

Do đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
$$ \cos \theta = \frac{aa' + bb' + cc'}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}} $$

Tuy nhiên, để đảm bảo giá trị cosin luôn không âm, ta lấy giá trị tuyệt đối của tử số:
$$ \cos \theta = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ C.~\frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}} $$

Câu 10.
Phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c)$ và bán kính $R$ trong không gian Oxyz có dạng:
$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Lập luận từng bước:
1. Mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều tâm của nó một khoảng bằng bán kính.
2. Ta xét khoảng cách từ một điểm $(x, y, z)$ trên mặt cầu đến tâm $I(a, b, c)$.
3. Khoảng cách này được tính bằng công thức:
   $$
   \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}
   $$
4. Vì khoảng cách này bằng bán kính $R$, ta có:
   $$
   \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = R
   $$
5. Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
   $$

Do đó, phương trình đúng là:
$$
A.~(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Câu 11.
Phương pháp giải:
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:
Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1)^2 + y^2 + (z-3)^2 = 4$.

So sánh với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, ta nhận thấy:
- Tâm của mặt cầu là $I(a, b, c) = (-1, 0, 3)$.
- Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{4} = 2$.

Vậy tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là $I(-1, 0, 3)$ và $R = 2$.

Đáp án đúng là: $C.~I(-1, 0, 3), R = 2$.

Câu 12
Để tìm góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $6x + 8y + 10z - 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (6, 8, 10)$.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-5}{5}$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (3, 4, 5)$.

3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ $\vec{n}$ và vectơ $\vec{u}$. Ta có:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|}
   $$
   Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u}$:
   $$
   \vec{n} \cdot \vec{u} = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 18 + 32 + 50 = 100
   $$
   Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
   $$
   Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos \theta = \frac{100}{(10\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{100}{100} = 1
   $$
   Điều này cho thấy $\theta = 0^\circ$.

4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
   $$
   \sin \alpha = \cos \theta = 1
   $$
   Do đó:
   $$
   \alpha = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $90^\circ$.

Đáp án đúng là: $A.~90^\circ$.

Câu 1.
Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x} $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $

Hàm số $ f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x} $ có thể được viết lại thành:
$$ f(x) = 2x + \frac{1}{x} $$

Nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = \int \left( 2x + \frac{1}{x} \right) dx $$
$$ F(x) = \int 2x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx $$
$$ F(x) = x^2 + \ln |x| + C $$

Trên khoảng $ (0; +\infty) $, $ |x| = x $, nên:
$$ F(x) = x^2 + \ln x + C $$

Bước 2: Kiểm tra các phát biểu

Phát biểu a)
Phát biểu a) nói rằng $ F(x) = f'(x) $ cho mọi $ x \in (0; +\infty) $.

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + \ln x + C) = 2x + \frac{1}{x} $$

Như vậy, $ F'(x) = f(x) $, nhưng không phải $ F(x) = f'(x) $. Do đó, phát biểu a) sai.

Phát biểu b)
Phát biểu b) nói rằng $ F(x) = x^2 + \ln x + 2024 $.

Theo kết quả ở Bước 1, $ F(x) = x^2 + \ln x + C $. Nếu chọn $ C = 2024 $, thì phát biểu này đúng.

Phát biểu c)
Phát biểu c) nói rằng $ F(2) = 1 $.

Thay $ x = 2 $ vào $ F(x) $:
$$ F(2) = 2^2 + \ln 2 + C = 4 + \ln 2 + C $$

Để $ F(2) = 1 $, ta cần:
$$ 4 + \ln 2 + C = 1 $$
$$ C = 1 - 4 - \ln 2 = -3 - \ln 2 $$

Do đó, phát biểu c) đúng nếu $ C = -3 - \ln 2 $.

Phát biểu d)
Phát biểu d) nói rằng biết $ F(1) = 5 $, khi đó $ F(e) = e^2 - 5 $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = 1^2 + \ln 1 + C = 1 + 0 + C = 1 + C $$

Biết $ F(1) = 5 $, ta có:
$$ 1 + C = 5 $$
$$ C = 4 $$

Bây giờ thay $ C = 4 $ vào $ F(x) $:
$$ F(x) = x^2 + \ln x + 4 $$

Thay $ x = e $ vào $ F(x) $:
$$ F(e) = e^2 + \ln e + 4 = e^2 + 1 + 4 = e^2 + 5 $$

Do đó, phát biểu d) sai vì $ F(e) = e^2 + 5 $, không phải $ e^2 - 5 $.

Kết luận
- Phát biểu a) sai.
- Phát biểu b) đúng nếu $ C = 2024 $.
- Phát biểu c) đúng nếu $ C = -3 - \ln 2 $.
- Phát biểu d) sai.