họooo vs mn ơi

Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh và mặt phẳng có các tính chất đặc biệt. Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xác định mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (AB'C). 1. Kiểm tra mặt phẳng (D'BC): - Mặt phẳng (D'BC) bao gồm các điểm D', B và C. - Mặt phẳng (AB'C) bao gồm các điểm A, B' và C. - Để hai mặt phẳng vuông góc nhau, chúng phải có một đường thẳng chung và các đường thẳng còn lại phải vuông góc với đường thẳng chung đó. - Đường thẳng chung giữa (D'BC) và (AB'C) là đường thẳng BC. - Tuy nhiên, đường thẳng D'B không vuông góc với đường thẳng AB' (vì D'B và AB' đều nằm trên các mặt phẳng khác nhau và không vuông góc trực tiếp với nhau). 2. Kiểm tra mặt phẳng (B'BD): - Mặt phẳng (B'BD) bao gồm các điểm B', B và D. - Mặt phẳng (AB'C) bao gồm các điểm A, B' và C. - Đường thẳng chung giữa (B'BD) và (AB'C) là đường thẳng B'. - Tuy nhiên, đường thẳng BD không vuông góc với đường thẳng AC (vì BD và AC đều nằm trên các mặt phẳng khác nhau và không vuông góc trực tiếp với nhau). 3. Kiểm tra mặt phẳng (D'AB): - Mặt phẳng (D'AB) bao gồm các điểm D', A và B. - Mặt phẳng (AB'C) bao gồm các điểm A, B' và C. - Đường thẳng chung giữa (D'AB) và (AB'C) là đường thẳng AB. - Tuy nhiên, đường thẳng D'A không vuông góc với đường thẳng B'C (vì D'A và B'C đều nằm trên các mặt phẳng khác nhau và không vuông góc trực tiếp với nhau). 4. Kiểm tra mặt phẳng (BA'C): - Mặt phẳng (BA'C) bao gồm các điểm B, A' và C. - Mặt phẳng (AB'C) bao gồm các điểm A, B' và C. - Đường thẳng chung giữa (BA'C) và (AB'C) là đường thẳng C. - Đường thẳng BA' vuông góc với đường thẳng AB' (vì BA' và AB' đều nằm trên các mặt phẳng khác nhau và vuông góc trực tiếp với nhau). Do đó, mặt phẳng (AB'C) vuông góc với mặt phẳng (BA'C). Đáp án đúng là: D. (BA'C). Câu 9. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình thoi, do đó các đường chéo BD và AC của hình thoi sẽ vuông góc với nhau tại tâm O của hình thoi. Do SA = SC, ta suy ra tam giác SAC cân tại S. Do đó, đường cao hạ từ S xuống AC sẽ đi qua trung điểm của AC, tức là đi qua O. Ta gọi giao điểm của SO và AC là O. Bây giờ, ta xét mặt phẳng (SBD): - Mặt phẳng (SBD) chứa đường thẳng BD. - Mặt phẳng (SBD) cũng chứa đường thẳng SO vì SO đi qua O và O nằm trên BD. Ta đã biết rằng AC vuông góc với BD tại O. Mặt khác, SO vuông góc với AC tại O. Do đó, SO vuông góc với cả hai đường thẳng BD và AC, mà BD và AC nằm trong mặt phẳng (ABCD). Theo định lý ba đường vuông góc, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Vì vậy, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (SBD) chứa SO và SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy đáp án đúng là: A. (SBD). Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. 1. Khẳng định A: $$ - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, SA vuông góc với AB và AC. - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC, còn mặt phẳng (SAB) chứa SA và AB. - Vì SA vuông góc với cả AB và AC, nên SA vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SAB). Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận rằng (SAC) vuông góc với (SAB). 2. Khẳng định B: $$ - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, SA vuông góc với BC. - Mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC, còn mặt phẳng (ABC) chứa AB và BC. - Vì SA vuông góc với BC, nhưng không đủ để kết luận rằng (SBC) vuông góc với (ABC). 3. Khẳng định C: $$ - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, SA vuông góc với AC và BC. - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC, còn mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. - Vì SA vuông góc với cả AC và BC, nên SA vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Điều này đủ để kết luận rằng (SAC) vuông góc với (SBC). 4. Khẳng định D: $$ - Vì I là trung điểm của AC, nên BI là đường cao của tam giác ABC từ đỉnh B xuống đáy AC. - Vì H là hình chiếu vuông góc của I lên SC, nên BI vuông góc với SC. - Mặt phẳng (BIH) chứa BI và IH, còn mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. - Vì BI vuông góc với SC, nhưng không đủ để kết luận rằng (BIH) vuông góc với (SBC). Từ các lập luận trên, khẳng định đúng là: $$ Câu 11. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $$. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đường thẳng để xem chúng có vuông góc với SA hay không: A. SB: - Ta có $$, do đó $$. - Tuy nhiên, SB nằm trong mặt phẳng (SAB) và không trực tiếp vuông góc với SA. B. SC: - Ta có $$, do đó $$. - Tuy nhiên, SC nằm trong mặt phẳng (SAC) và không trực tiếp vuông góc với SA. C. SD: - Ta có $$, do đó $$. - Tuy nhiên, SD nằm trong mặt phẳng (SAD) và không trực tiếp vuông góc với SA. D. BC: - Ta có $$, do đó $$ vì BC nằm trong mặt phẳng (ABCD). Như vậy, đường thẳng BC là đường thẳng duy nhất vuông góc với đường thẳng SA. Đáp án đúng là: D. BC. Câu 12. Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết: - Khẳng định A: $$ Do $$, mặt phẳng $$ bao gồm cả đường thẳng $$. Do đó, $$. - Khẳng định B: $$ Ta cần kiểm tra xem $$ có vuông góc với $$ hay không. Vì $$, ta có $$. Mặt khác, $$ và $$ là tâm của hình thoi $$, do đó $$. Kết hợp hai điều này, ta thấy rằng $$ nằm trong mặt phẳng $$ và vuông góc với $$ và $$. Do đó, $$. - Khẳng định C: $$ $$ là tâm của hình thoi $$, do đó $$ là giao điểm của $$ và $$. Vì $$, $$. Mặt khác, $$ (do $$ là tâm của hình thoi). Kết hợp hai điều này, ta thấy rằng $$ nằm trong mặt phẳng $$ và vuông góc với $$ và $$. Do đó, $$. - Khẳng định D: $$ Ta cần kiểm tra xem $$ có vuông góc với $$ hay không. Vì $$ nằm trong mặt phẳng $$ và $$, ta có $$. Tuy nhiên, $$ không nằm trong mặt phẳng $$ và không có lý do trực tiếp để cho rằng $$. Do đó, khẳng định này có thể sai. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định D là khẳng định sai. Đáp án: D. $$ Câu 13. Trước tiên, ta xét hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng nhau. Điều này có nghĩa là ABCD.A'B'C'D' là một hình lập phương. - Mệnh đề A: $$ - Trong hình lập phương, đường chéo $$ và đường chéo $$ của hai mặt đáy vuông góc với nhau. Do đó, mệnh đề này đúng. - Mệnh đề B: $$ - $$ là đường thẳng đứng từ đỉnh $$ lên đỉnh $$. Đường chéo $$ nằm trong mặt đáy ABCD. Vì $$ vuông góc với mặt đáy ABCD, nên $$. Do đó, mệnh đề này đúng. - Mệnh đề C: $$ - Ta xét đoạn thẳng $$ và $$: - $$ nằm trong mặt phẳng $$. - $$ nằm trong mặt phẳng $$. - Hai đoạn thẳng này không vuông góc với nhau vì chúng không thuộc cùng một mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, mệnh đề này sai. - Mệnh đề D: $$ - $$ nằm trong mặt đáy ABCD. - $$ nằm trong mặt phẳng $$. - Vì $$ vuông góc với $$ (do ABCD là hình vuông) và $$ vuông góc với mặt đáy ABCD, nên $$. Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy mệnh đề sai là: $$ Câu 14. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và $$. - Vì ABCD là hình thoi nên $$ tại O (tính chất của hình thoi). - Ta có $$ và $$. Điều này cho thấy tam giác SAD và SCD cân tại S, và tam giác SAB và SBC cân tại S. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: 1. $$: - Xét tam giác SAD và SCD cân tại S, do đó đường cao hạ từ S xuống AD và CD sẽ đi qua trung điểm của AD và CD. Tuy nhiên, vì O là tâm của hình thoi ABCD, nên O cũng là trung điểm của AC và BD. Do đó, đường thẳng SD sẽ vuông góc với AC tại O. Vậy $$ là đúng. 2. $$: - Đây là tính chất của hình thoi, $$ tại O. Vậy $$ là đúng. 3. $$: - Xét tam giác SAB và SBC cân tại S, đường cao hạ từ S xuống AB và BC sẽ đi qua trung điểm của AB và BC. Tuy nhiên, vì O là tâm của hình thoi ABCD, nên O cũng là trung điểm của AC và BD. Do đó, đường thẳng SA sẽ vuông góc với BD tại O. Vậy $$ là đúng. 4. $$: - Xét tam giác SAC cân tại S, đường cao hạ từ S xuống AC sẽ đi qua trung điểm của AC. Tuy nhiên, vì O là tâm của hình thoi ABCD, nên O cũng là trung điểm của AC và BD. Do đó, đường thẳng SA sẽ không vuông góc với AC tại O. Vậy $$ là sai. Vậy mệnh đề sai là: $$ Câu 15. Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết: - Khẳng định A: $$ Ta biết rằng $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống đáy $$ của tam giác cân $$. Vì $$, nên $$. Mặt khác, $$ nằm trong mặt phẳng $$ và $$ cũng nằm trong mặt phẳng $$. Do đó, để chứng minh $$, ta cần kiểm tra xem $$ có vuông góc với $$ hay không. Vì $$ và $$, nên $$. Do đó, $$. - Khẳng định B: $$ Ta đã biết $$, do đó $$. - Khẳng định C: $$ Vì $$, nên $$. - Khẳng định D: $$ Ta cần kiểm tra xem $$ có vuông góc với $$ hay không. Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$ là đường trung tuyến của tam giác $$. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy $$. Do đó, khẳng định này có thể sai. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định D là khẳng định sai. Đáp án: D. $$ Câu 16. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng AB' và A'C'. 1. Xác định các điểm: - Điểm A là đỉnh chung của các cạnh AB, AD và AA'. - Điểm B' là đỉnh đối diện với điểm B trên mặt A'B'C'D'. - Điểm C' là đỉnh đối diện với điểm C trên mặt A'B'C'D'. 2. Xác định các vectơ: - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ điểm A đến điểm B'. - Vectơ $$ là vectơ chỉ từ điểm A' đến điểm C'. 3. Tìm góc giữa hai vectơ: - Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của hình lập phương để xác định góc giữa hai đường thẳng. 4. Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: - Gọi độ dài mỗi cạnh của hình lập phương là a. - Vectơ $$ có độ dài là a√2 (vì nó là đường chéo của một mặt hình lập phương). - Vectơ $$ cũng có độ dài là a√2 (vì nó là đường chéo của một mặt hình lập phương). 5. Tính tích vô hướng của hai vectơ: - Ta có $$, trong đó $$ là góc giữa hai vectơ. - Vì $$ và $$ nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với nhau, nên $$. 6. Kết luận: - Góc giữa hai đường thẳng AB' và A'C' là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 17. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', các cạnh đều bằng nhau, tức là nó là một hình lăng trụ đứng đều. Điều này có nghĩa là đáy của lăng trụ là một tam giác đều và chiều cao của lăng trụ bằng với độ dài các cạnh đáy. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng AA' và BC'. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình lăng trụ đứng đều và các phép toán vector. 1. Xác định hệ tọa độ: - Gọi A là gốc tọa độ (0, 0, 0). - B có tọa độ (a, 0, 0). - C có tọa độ $$. - A' có tọa độ (0, 0, a). 2. Tìm vectơ AA' và BC': - Vectơ AA' = (0, 0, a). - Vectơ BC' = $$. 3. Tính tích vô hướng AA' . BC': $$ 4. Tính độ dài của AA' và BC': - Độ dài AA' = $$. - Độ dài BC' = $$. 5. Tính cosin của góc giữa AA' và BC': $$ 6. Tìm góc θ: $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng AA' và BC' là $$. Đáp án đúng là B. 45°. Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đều và góc giữa hai đường thẳng trong không gian. 1. Xác định các tính chất cơ bản: - Tam giác ABC và ABD đều là tam giác đều, nghĩa là tất cả các cạnh của chúng đều bằng nhau và các góc đều bằng 60°. - Do đó, AB = BC = CA và AB = BD = DA. 2. Xác định vị trí của điểm D: - Vì tam giác ABD là tam giác đều, nên D nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC đi qua trung điểm của AB. - Gọi O là trung điểm của AB, thì DO vuông góc với mặt phẳng ABC. 3. Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD: - Để tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD, chúng ta cần xác định hình chiếu của CD lên mặt phẳng chứa AB. - Gọi H là hình chiếu của D xuống mặt phẳng ABC. Vì DO vuông góc với mặt phẳng ABC, nên H nằm trên đường thẳng vuông góc với AB đi qua O. - Ta có CH là hình chiếu của CD lên mặt phẳng ABC. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD: - Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa AB và CH. - Vì ABC là tam giác đều, nên CH vuông góc với AB tại O. - Do đó, góc giữa AB và CH là 90°. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 19. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ liên quan: - Gọi $$ là gốc tọa độ. - $$, $$, $$. Do $$ là trung điểm của $$, ta có: $$ Tiếp theo, ta xác định các vectơ: - Vectơ $$. - Vectơ $$. Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: $$ Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ: $$ $$ Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là: $$ Đáp án đúng là: $$. Câu 20. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ cần thiết để tính góc giữa hai đường thẳng AM và SC. 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ta chọn hệ tọa độ sao cho A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0). - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = $$, nên S(0, 0, $$). 2. Tìm tọa độ của M: - M là trung điểm của SD, nên tọa độ của M là: $$ 3. Xác định vectơ AM và SC: - Vectơ AM: $$ - Vectơ SC: $$ 4. Tính tích vô hướng $$: $$ 5. Tính độ dài của các vectơ: $$ $$ 6. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AM và SC: $$ Do đó, cosin góc giữa hai đường thẳng AM và SC là: $$ Tuy nhiên, vì góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, nên ta lấy giá trị tuyệt đối của cosin: $$ Vậy đáp án đúng là: $$