Giải hộ tôi bài này với Câu 28. Một người đứng ở. mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền,hình. Flycam I ở vị trí A cách vị trí điều khiển 150m về phía nam và 200m về phía đông, đồng thời cách mặt,đất 50m. Flycam II ở vị trí B cách vị trí điều khiển 180m về phía bắc và 240m về phía tây, đồng thời cách,mặt đất 60m.,Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox,có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất,hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét,(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):~3x+y+4z-2024=0$ và,$(Q):~x+3y-4z-2025=0.$ Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng,đơn vị)?

Question

Accepted Answer

Câu 28.
Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A và B trong hệ tọa độ Oxyz đã cho.

- Điểm A cách vị trí điều khiển 150m về phía nam và 200m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50m. Do đó, tọa độ của điểm A là:
$$ A(150, 200, 50) $$

- Điểm B cách vị trí điều khiển 180m về phía bắc và 240m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60m. Do đó, tọa độ của điểm B là:
$$ B(-180, -240, 60) $$

Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
$$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$

Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức:
$$ AB = \sqrt{((-180) - 150)^2 + ((-240) - 200)^2 + (60 - 50)^2} $$
$$ AB = \sqrt{(-330)^2 + (-440)^2 + 10^2} $$
$$ AB = \sqrt{108900 + 193600 + 100} $$
$$ AB = \sqrt{302600} $$
$$ AB \approx 550 \text{ m} $$

Vậy khoảng cách giữa hai flycam là 550 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 29.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P):~3x + y + 4z - 2024 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_1 = (3, 1, 4)$.
   - Mặt phẳng $(Q):~x + 3y - 4z - 2025 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_2 = (1, 3, -4)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến:
   $$
   \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-4) = 3 + 3 - 16 = -10
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vector pháp tuyến:
   $$
   |\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}
   $$
   $$
   |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vector pháp tuyến:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-10}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-10}{26} = -\frac{5}{13}
   $$

5. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)
   $$

6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
   $$
   \theta \approx 117^\circ
   $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $117^\circ$.