giải hộ tôi bài này với Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac z{-5}$ và $\Delta_2:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$ Góc,giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x+2}1=\frac{y-5}2=\frac z{-2}$ và mặt phẳng $(P):12y+5z+1=0.$,Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A(5;3;6),~B(1;1;4),~C(2;1;2)$ và $D(0;0;4).$,Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng bao nhiêu?,Câu 33. Khi gắn hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc,mặt knẳng (Oxy), người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí A, B, C ở mái nhà,bên phải lần lượt có toạ độ (2; 0; 4), (4; 0; 3) và (4; 9; 3). Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao,nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Question

Accepted Answer

Câu 30.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình: $\frac{x+24}{3} = \frac{y-25}{4} = \frac{z}{-5}$. 
     Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$.
   - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình: $\frac{x-26}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$.
     Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{7}{(5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})} = \frac{7}{50}
   $$

5. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{50}\right)
   $$

6. Lập luận và tính toán:
   Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx \cos^{-1}(0.14) \approx 81.79^\circ
   $$

7. Kết luận:
   Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là khoảng $82^\circ$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp số: $82^\circ$

Câu 31.
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $12y + 5z + 1 = 0$. 
   Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (0, 12, 5)$.

2. Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\frac{x+2}{1} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-2}$.
   Véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

3. Tính góc giữa véctơ chỉ phương của đường thẳng và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   Gọi $\theta$ là góc giữa véctơ $\vec{d}$ và véctơ $\vec{n}$. Ta có:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{n}}{|\vec{d}| |\vec{n}|}
   $$
   Tính tích vô hướng $\vec{d} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + (-2) \cdot 5 = 0 + 24 - 10 = 14
   $$
   Tính độ dài của các véctơ:
   $$
   |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 144 + 25} = \sqrt{169} = 13
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos \theta = \frac{14}{3 \times 13} = \frac{14}{39}
   $$

4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
   $$
   \sin \alpha = \cos \theta = \frac{14}{39}
   $$
   Do đó:
   $$
   \alpha = \arcsin \left( \frac{14}{39} \right)
   $$
   Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\alpha$:
   $$
   \alpha \approx 22^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng $22^\circ$.

Câu 32.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình mặt phẳng $ (BCD) $:
   - Tìm hai vectơ trong mặt phẳng $ (BCD) $:
     $$
     \overrightarrow{BC} = C - B = (2-1, 1-1, 2-4) = (1, 0, -2)
     $$
     $$
     \overrightarrow{BD} = D - B = (0-1, 0-1, 4-4) = (-1, -1, 0)
     $$

- Tìm vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ của mặt phẳng $ (BCD) $ bằng tích vector của $ \overrightarrow{BC} $ và $ \overrightarrow{BD} $:
     $$
     \vec{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     1 & 0 & -2 \
     -1 & -1 & 0
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1))
     = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-1)
     = (-2, 2, -1)
     $$

- Phương trình mặt phẳng $ (BCD) $ có dạng:
     $$
     -2(x - 1) + 2(y - 1) - 1(z - 4) = 0
     $$
     $$
     -2x + 2 + 2y - 2 - z + 4 = 0
     $$
     $$
     -2x + 2y - z + 4 = 0
     $$

2. Tính khoảng cách từ điểm $ A(5, 3, 6) $ đến mặt phẳng $ (BCD) $:
   - Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
     $$
     d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
     $$
     Trong đó, $ ax + by + cz + d = 0 $ là phương trình mặt phẳng và $ (x_0, y_0, z_0) $ là tọa độ điểm.

- Thay vào phương trình:
     $$
     d = \frac{|-2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6 + 4|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2}}
     $$
     $$
     d = \frac{|-10 + 6 - 6 + 4|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}
     $$
     $$
     d = \frac{|-6|}{\sqrt{9}}
     $$
     $$
     d = \frac{6}{3} = 2
     $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (BCD) $ là $ 2 $.

Câu 33.
Để tìm góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà, chúng ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa mái nhà và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa mái nhà.
- Điểm A(2; 0; 4), điểm B(4; 0; 3), điểm C(4; 9; 3).
- Vectơ AB = B - A = (4 - 2; 0 - 0; 3 - 4) = (2; 0; -1).
- Vectơ AC = C - A = (4 - 2; 9 - 0; 3 - 4) = (2; 9; -1).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa mái nhà là:
$$ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} $$

Tính tích vector:
$$ \vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
2 & 0 & -1 \
2 & 9 & -1
\end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 9) - \vec{j}(2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 9 - 0 \cdot 2) $$
$$ = \vec{i}(0 + 9) - \vec{j}(-2 + 2) + \vec{k}(18 - 0) $$
$$ = 9\vec{i} + 0\vec{j} + 18\vec{k} $$
$$ = (9; 0; 18) $$

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
- Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
- Gọi góc giữa hai vectơ là $\theta$.
- Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
$$ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \vec{n} \cdot \vec{k} = (9; 0; 18) \cdot (0; 0; 1) = 9 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 18 \cdot 1 = 18 $$

Tính độ dài của các vectơ:
$$ |\vec{n}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + 18^2} = \sqrt{81 + 0 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} $$
$$ |\vec{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 $$

Tính cosin của góc:
$$ \cos \theta = \frac{18}{9\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{18}{9\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$

Bước 4: Tìm góc $\theta$:
$$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \approx 26.57^\circ $$

Vậy góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà là khoảng 27 độ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp số: 27 độ.