giải các bài tập sau Câu 2. Cho hàm số: $y=\frac{2x-4}{x-1}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,A. Hàm số có một điểm cực trị;,B. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;,C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;,D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.,Câu 3. Số tiếp tuyến đi qua điểm A (1 ; - 6) của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ là,A. 1 B. 0 C. 2 D. 3,Câu 4. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2~(C).$ Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của,(C) và có hệ số góc nhỏ nhất?,$A.~y=-3x+3$ $B.~y=-3x-3$ $C.~y=-3x$ $D.~y=0$,Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{x^4}4+x^3-4x+1.$ Mệnh đề nào dưới đây sai?,A. Hàm số có tập xác định là R B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$,C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;1)$ D. Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$,Câu 6. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ tại điểm có hoành độ thỏa mãn,$f^{\prime\prime}(x)=0$ là,$A.~y=-x+1$ $B.~y=-3x+3$ $C.~y=-x-1$ $D.~y=-3x-3$

Question

Accepted Answer

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Xác định các điểm cực trị (nếu có). 4. Xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số $y = \frac{2x - 4}{x - 1}$ có mẫu số là $x - 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: $$ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $$ Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: $$ y' = \left( \frac{2x - 4}{x - 1} \right)' = \frac{(2x - 4)'(x - 1) - (2x - 4)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2(x - 1) - (2x - 4)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} = \frac{2}{(x - 1)^2} $$ Bước 3: Xác định các điểm cực trị: Đạo hàm $y'$ luôn dương vì $\frac{2}{(x - 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$. Do đó, hàm số không có điểm cực trị. Bước 4: Xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số: Vì $y' = \frac{2}{(x - 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Vậy mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Câu 3. Để tìm số tiếp tuyến đi qua điểm $ A(1, -6) $ của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x + 1 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $ M(x_0, y_0) $: - Gọi $ M(x_0, y_0) $ là điểm trên đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x + 1 $. Ta có $ y_0 = x_0^3 - 3x_0 + 1 $. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - $ y' = 3x^2 - 3 $. 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ M(x_0, y_0) $: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $ M(x_0, y_0) $ là: $$ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) $$ - Thay $ y_0 = x_0^3 - 3x_0 + 1 $ và $ y'(x_0) = 3x_0^2 - 3 $: $$ y - (x_0^3 - 3x_0 + 1) = (3x_0^2 - 3)(x - x_0) $$ 4. Thay tọa độ điểm $ A(1, -6) $ vào phương trình tiếp tuyến: - Ta có: $$ -6 - (x_0^3 - 3x_0 + 1) = (3x_0^2 - 3)(1 - x_0) $$ - Rút gọn phương trình: $$ -6 - x_0^3 + 3x_0 - 1 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 $$ $$ -7 - x_0^3 + 3x_0 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 $$ $$ -7 - x_0^3 + 3x_0 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 $$ $$ -7 - x_0^3 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 $$ $$ -7 + 2x_0^3 = 3x_0^2 - 3 $$ $$ 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 $$ 5. Giải phương trình $ 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 $: - Ta thử nghiệm các giá trị $ x_0 $: - $ x_0 = 2 $: $$ 2(2)^3 - 3(2)^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 $$ - Vậy $ x_0 = 2 $ là nghiệm của phương trình. - Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại: $$ 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = (x_0 - 2)(2x_0^2 + x_0 + 2) $$ - Phương trình $ 2x_0^2 + x_0 + 2 = 0 $ có biệt số $ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0 $, nên không có nghiệm thực. 6. Kết luận: - Phương trình $ 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 $ có duy nhất một nghiệm thực $ x_0 = 2 $. - Do đó, có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm $ A(1, -6) $ của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x + 1 $. Vậy đáp án đúng là: A. 1. Câu 4. Để tìm đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ và có hệ số góc nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x $$ 2. Xác định hệ số góc nhỏ nhất: Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm $y'$: $$ y' = 3x^2 - 6x $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $y'$, ta tính đạo hàm của $y'$: $$ (y')' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 $$ Đặt $(y')' = 0$ để tìm điểm cực trị: $$ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 $$ Kiểm tra dấu của $(y')'$ ở hai bên điểm $x = 1$: - Khi $x < 1$, $(y')' < 0$ - Khi $x > 1$, $(y')' > 0$ Vậy $x = 1$ là điểm cực tiểu của $y'$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y'$ là: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 $$ 3. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x = 1$ sẽ có hệ số góc là $-3$. Ta tính tung độ của điểm này trên đồ thị: $$ y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $$ Vậy tiếp tuyến tại điểm $(1, 0)$ có phương trình: $$ y - 0 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3 $$ Do đó, đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ và có hệ số góc nhỏ nhất là: $$ \boxed{A.~y = -3x + 3} $$ Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. 1. Tập xác định của hàm số: Hàm số $y=\frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1$ là một đa thức, do đó tập xác định của nó là $\mathbb{R}$. Mệnh đề A đúng. 2. Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến: Ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left(\frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1\right)' = x^3 + 3x^2 - 4 $$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: $$ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 $$ Ta thử nghiệm các giá trị để tìm nghiệm của phương trình này: - Thử $x = 1$: $$ 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 $$ Vậy $x = 1$ là một nghiệm. - Thử $x = -2$: $$ (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 $$ Vậy $x = -2$ cũng là một nghiệm. Ta phân tích phương trình thành nhân tử: $$ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 = 0 $$ Các nghiệm là $x = 1$ và $x = -2$. Ta xét dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng: - Khi $x < -2$, chọn $x = -3$: $$ y' = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 4 = -27 + 27 - 4 = -4 < 0 $$ Vậy $y'$ âm trên khoảng $(-\infty, -2)$. - Khi $-2 < x < 1$, chọn $x = 0$: $$ y' = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 < 0 $$ Vậy $y'$ âm trên khoảng $(-2, 1)$. - Khi $x > 1$, chọn $x = 2$: $$ y' = 2^3 + 3(2)^2 - 4 = 8 + 12 - 4 = 16 > 0 $$ Vậy $y'$ dương trên khoảng $(1, +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1, +\infty)$. Mệnh đề B đúng, mệnh đề C sai. 3. Kiểm tra cực đại và cực tiểu: - Tại $x = -2$, ta thấy $y'$ chuyển từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$. - Tại $x = 1$, ta thấy $y'$ chuyển từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$. Do đó, mệnh đề D sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$, không phải cực đại. Kết luận: Mệnh đề sai là D. Câu 6. Để tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ tại điểm có hoành độ thỏa mãn $f''(x) = 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số $f(x)$. $f'(x) = 3x^2 - 6x$ $f''(x) = 6x - 6$ Bước 2: Tìm giá trị của $x$ sao cho $f''(x) = 0$. $6x - 6 = 0$ $x = 1$ Bước 3: Tính giá trị của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 1$. $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ Bước 4: Tính giá trị của đạo hàm bậc nhất $f'(x)$ tại điểm $x = 1$. $f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = -3$ Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(1, 0)$ với hệ số góc là $-3$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ Thay vào ta có: $y = -3(x - 1) + 0$ $y = -3x + 3$ Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -3x + 3$. Đáp án đúng là B.