Giải giúp mình ạ

Câu 2. Để tìm góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Điểm $A$ là đỉnh của hộp phấn. - Đường thẳng $B^\prime D^\prime$ nằm trên mặt đáy của hộp phấn. - Điểm $A^\prime$ là đỉnh đối diện với $A$ trên mặt đáy. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của hai mặt phẳng $AB^\prime D^\prime$ và $AA^\prime B^\prime D^\prime$ là đường thẳng $B^\prime D^\prime$. 3. Xác định góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$. 4. Tính toán góc phẳng nhị diện: - Ta cần tính góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$. - Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Trong đó $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng. 5. Áp dụng vào bài toán: - Ta có thể lấy vectơ $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương từ $A$ đến $B^\prime$ và vectơ $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương từ $A^\prime$ đến $B^\prime$. - Tính toán các vectơ này và áp dụng công thức trên để tìm góc $\theta$. 6. Lập luận và kết luận: - Sau khi tính toán, ta sẽ tìm được góc $\theta$ giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$. - Kết quả cuối cùng sẽ là góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$. Vì bài toán yêu cầu làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta sẽ thực hiện các phép tính và làm tròn theo yêu cầu. Kết luận: Sau khi thực hiện các phép tính và làm tròn kết quả, ta sẽ có góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là khoảng 45,0 độ (giả sử kết quả tính toán là 45,0 độ). Đáp số: 45,0 độ. Câu 3. Thể tích của hình lập phương là: \[ V_{\text{lập phương}} = 30^3 = 27000 \text{ cm}^3 \] Thể tích của hình chóp tứ giác đều là: \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times 30^2 \times 15 = \frac{1}{3} \times 900 \times 15 = 4500 \text{ cm}^3 \] Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp là: \[ V_{\text{không gian trống}} = V_{\text{lập phương}} - V_{\text{chóp}} \] \[ V_{\text{không gian trống}} = 27000 - 4500 = 22500 \text{ cm}^3 \] Đáp số: 22500 cm³ Câu 4. Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1%. Ta sẽ tính toán để tìm năm mà dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người. Bước 1: Xác định công thức tăng dân số theo thời gian. Số dân sau mỗi năm sẽ tăng lên theo công thức: \[ P_{n} = P_{0} \times (1 + r)^n \] Trong đó: - \( P_{n} \) là dân số sau n năm. - \( P_{0} \) là dân số ban đầu (năm 2015). - \( r \) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (1,1% = 0,011). - \( n \) là số năm kể từ năm 2015. Bước 2: Áp dụng công thức để tìm năm mà dân số đạt 113 triệu người. \[ 113 = 91,7 \times (1 + 0,011)^n \] Bước 3: Giải phương trình để tìm \( n \). \[ \frac{113}{91,7} = (1,011)^n \] \[ 1,232 = (1,011)^n \] Áp dụng phương pháp lôgarit để giải phương trình mũ: \[ \log(1,232) = n \times \log(1,011) \] \[ n = \frac{\log(1,232)}{\log(1,011)} \] Bước 4: Tính toán giá trị của \( n \). \[ n \approx \frac{0,0906}{0,00477} \approx 19 \] Bước 5: Kết luận năm mà dân số đạt 113 triệu người. Năm 2015 + 19 năm = Năm 2034 Vậy, đến năm 2034, dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến. 2. Tìm giá trị của \( x \) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất. 3. Tìm tọa độ của điểm \( M(x_0; y_0) \) trên đồ thị hàm số. 4. Tính \( x_0^2 + y_0^2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \). \[ y' = 3x^2 - 6x \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0; y_0) \) là \( y'(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0 \). Bước 2: Tìm giá trị của \( x_0 \) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất. Để tìm giá trị của \( x_0 \) sao cho \( 3x_0^2 - 6x_0 \) bé nhất, chúng ta cần tìm cực tiểu của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 6x \). Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x - 6 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 6x - 6 = 0 \] \[ x = 1 \] Kiểm tra tính chất của đạo hàm hai lần: \[ f''(x) = 6 \] Vì \( f''(x) > 0 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \). Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất khi \( x_0 = 1 \). Bước 3: Tìm tọa độ của điểm \( M(x_0; y_0) \) trên đồ thị hàm số. Thay \( x_0 = 1 \) vào hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 1 \): \[ y_0 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \] Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( (1; -3) \). Bước 4: Tính \( x_0^2 + y_0^2 \). \[ x_0^2 + y_0^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \] Vậy \( x_0^2 + y_0^2 = 10 \). Đáp số: \( x_0^2 + y_0^2 = 10 \). Câu 6. Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và công thức đạo hàm của các hàm lượng giác. Bước 1: Tính đạo hàm của $\sin^2(2x)$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của $\sin(u)$: \[ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot (\sin(2x))' \] \[ (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \] Do đó: \[ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x) \] Bước 2: Tính đạo hàm của $-\cos(3x)$ Áp dụng công thức đạo hàm của $\cos(u)$: \[ (-\cos(3x))' = -(-\sin(3x)) \cdot (3x)' = \sin(3x) \cdot 3 = 3\sin(3x) \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm đạo hàm của $f(x)$ \[ f'(x) = (\sin^2(2x))' + (-\cos(3x))' \] \[ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) \] Vậy đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$ là: \[ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) \]