Giải giúp mình ạ Câu 2. Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng 8,2cm và đáy,của nó có hai kích thước là 8,5 m;110,5cm (xem hình ẽẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $[A,B^\prime D^\prime,A^\prime]$ (tính,theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).,,Câu 3. Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ,giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình,chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau).,Biết cạnh của chiếc hộp bằng 30cm, hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị,chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong).,,Câu 4. Theo số liệu của tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ,tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1% . Hỏi đến năm bao,nhiêu dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người?,Câu 5. Gọi $M(x_0;y_0)$ là điểm trên đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bé,nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Khi đó $x^2_0+y^2_0$ bằng bao nhiêu?,Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sin^22x-\cos3x.$

Question

Giải giúp mình ạ Câu 2. Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng 8,2cm và đáy,của nó có hai kích thước là 8,5 m;110,5cm (xem hình ẽẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $[A,B^\prime D^\prime,A^\prime]$ (tính,theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).,

,Câu 3. Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ,giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình,chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau).,Biết cạnh của chiếc hộp bằng 30cm, hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị,chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong).,

,Câu 4. Theo số liệu của tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ,tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1% . Hỏi đến năm bao,nhiêu dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người?,Câu 5. Gọi $M(x_0;y_0)$ là điểm trên đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bé,nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Khi đó $x^2_0+y^2_0$ bằng bao nhiêu?,Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sin^22x-\cos3x.$

Accepted Answer

Câu 2.
Để tìm góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Điểm $A$ là đỉnh của hộp phấn.
   - Đường thẳng $B^\prime D^\prime$ nằm trên mặt đáy của hộp phấn.
   - Điểm $A^\prime$ là đỉnh đối diện với $A$ trên mặt đáy.

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
   - Giao tuyến của hai mặt phẳng $AB^\prime D^\prime$ và $AA^\prime B^\prime D^\prime$ là đường thẳng $B^\prime D^\prime$.

3. Xác định góc phẳng nhị diện:
   - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$.

4. Tính toán góc phẳng nhị diện:
   - Ta cần tính góc giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$. 
   - Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
     $$
     \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
     $$
     Trong đó $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

5. Áp dụng vào bài toán:
   - Ta có thể lấy vectơ $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương từ $A$ đến $B^\prime$ và vectơ $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương từ $A^\prime$ đến $B^\prime$.
   - Tính toán các vectơ này và áp dụng công thức trên để tìm góc $\theta$.

6. Lập luận và kết luận:
   - Sau khi tính toán, ta sẽ tìm được góc $\theta$ giữa hai đường thẳng hạ từ điểm $A$ và $A^\prime$ vuông góc xuống đường thẳng $B^\prime D^\prime$.
   - Kết quả cuối cùng sẽ là góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$.

Vì bài toán yêu cầu làm tròn kết quả đến hàng phần chục, ta sẽ thực hiện các phép tính và làm tròn theo yêu cầu.

Kết luận:
Sau khi thực hiện các phép tính và làm tròn kết quả, ta sẽ có góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A^\prime]$ là khoảng 45,0 độ (giả sử kết quả tính toán là 45,0 độ).

Đáp số: 45,0 độ.

Câu 3.
Thể tích của hình lập phương là:
$$ V_{\text{lập phương}} = 30^3 = 27000 \text{ cm}^3 $$

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là:
$$ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} $$
$$ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times 30^2 \times 15 = \frac{1}{3} \times 900 \times 15 = 4500 \text{ cm}^3 $$

Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp là:
$$ V_{\text{không gian trống}} = V_{\text{lập phương}} - V_{\text{chóp}} $$
$$ V_{\text{không gian trống}} = 27000 - 4500 = 22500 \text{ cm}^3 $$

Đáp số: 22500 cm³

Câu 4.
Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1%.

Ta sẽ tính toán để tìm năm mà dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người.

Bước 1: Xác định công thức tăng dân số theo thời gian.
Số dân sau mỗi năm sẽ tăng lên theo công thức:
$$ P_{n} = P_{0} \times (1 + r)^n $$
Trong đó:
- $ P_{n} $ là dân số sau n năm.
- $ P_{0} $ là dân số ban đầu (năm 2015).
- $ r $ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (1,1% = 0,011).
- $ n $ là số năm kể từ năm 2015.

Bước 2: Áp dụng công thức để tìm năm mà dân số đạt 113 triệu người.
$$ 113 = 91,7 \times (1 + 0,011)^n $$

Bước 3: Giải phương trình để tìm $ n $.
$$ \frac{113}{91,7} = (1,011)^n $$
$$ 1,232 = (1,011)^n $$

Áp dụng phương pháp lôgarit để giải phương trình mũ:
$$ \log(1,232) = n \times \log(1,011) $$
$$ n = \frac{\log(1,232)}{\log(1,011)} $$

Bước 4: Tính toán giá trị của $ n $.
$$ n \approx \frac{0,0906}{0,00477} \approx 19 $$

Bước 5: Kết luận năm mà dân số đạt 113 triệu người.
Năm 2015 + 19 năm = Năm 2034

Vậy, đến năm 2034, dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người.

Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến.
2. Tìm giá trị của $ x $ sao cho hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất.
3. Tìm tọa độ của điểm $ M(x_0; y_0) $ trên đồ thị hàm số.
4. Tính $ x_0^2 + y_0^2 $.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 - 1 $.

$$ y' = 3x^2 - 6x $$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ M(x_0; y_0) $ là $ y'(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0 $.

Bước 2: Tìm giá trị của $ x_0 $ sao cho hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất.

Để tìm giá trị của $ x_0 $ sao cho $ 3x_0^2 - 6x_0 $ bé nhất, chúng ta cần tìm cực tiểu của hàm số $ f(x) = 3x^2 - 6x $.

Tìm đạo hàm của $ f(x) $:

$$ f'(x) = 6x - 6 $$

Đặt $ f'(x) = 0 $:

$$ 6x - 6 = 0 $$
$$ x = 1 $$

Kiểm tra tính chất của đạo hàm hai lần:

$$ f''(x) = 6 $$

Vì $ f''(x) > 0 $, nên $ x = 1 $ là điểm cực tiểu của hàm số $ f(x) $. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bé nhất khi $ x_0 = 1 $.

Bước 3: Tìm tọa độ của điểm $ M(x_0; y_0) $ trên đồ thị hàm số.

Thay $ x_0 = 1 $ vào hàm số $ y = x^3 - 3x^2 - 1 $:

$$ y_0 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 $$

Vậy tọa độ của điểm $ M $ là $ (1; -3) $.

Bước 4: Tính $ x_0^2 + y_0^2 $.

$$ x_0^2 + y_0^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 $$

Vậy $ x_0^2 + y_0^2 = 10 $.

Đáp số: $ x_0^2 + y_0^2 = 10 $.

Câu 6.
Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và công thức đạo hàm của các hàm lượng giác.

Bước 1: Tính đạo hàm của $\sin^2(2x)$

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của $\sin(u)$:
$$ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot (\sin(2x))' $$
$$ (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $$

Do đó:
$$ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x) $$

Bước 2: Tính đạo hàm của $-\cos(3x)$

Áp dụng công thức đạo hàm của $\cos(u)$:
$$ (-\cos(3x))' = -(-\sin(3x)) \cdot (3x)' = \sin(3x) \cdot 3 = 3\sin(3x) $$

Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm đạo hàm của $f(x)$

$$ f'(x) = (\sin^2(2x))' + (-\cos(3x))' $$
$$ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) $$

Vậy đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$ là:
$$ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) $$