giải giùm e với Câu 1b: Cho hàm số $f(x)=\frac{1-3x+x^2}{x-1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp,tuyến tại điểm E(2;m). có dạng $y=ax+b.$ Tính $2a-5b$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của $ m $ bằng cách thay $ x = 2 $ vào hàm số $ f(x) $.
2. Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $ để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ E(2, m) $.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $ (C) $ tại điểm $ E(2, m) $.
4. Tìm giá trị của $ a $ và $ b $ từ phương trình tiếp tuyến.
5. Tính $ 2a - 5b $.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tìm giá trị của $ m $
Thay $ x = 2 $ vào hàm số $ f(x) $:
$$ f(2) = \frac{1 - 3 \cdot 2 + 2^2}{2 - 1} = \frac{1 - 6 + 4}{1} = \frac{-1}{1} = -1 $$
Vậy $ m = -1 $.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $
Hàm số $ f(x) = \frac{1 - 3x + x^2}{x - 1} $.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
$$ f'(x) = \frac{(1 - 3x + x^2)'(x - 1) - (1 - 3x + x^2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$

Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
$$ (1 - 3x + x^2)' = -3 + 2x $$
$$ (x - 1)' = 1 $$

Thay vào công thức:
$$ f'(x) = \frac{(-3 + 2x)(x - 1) - (1 - 3x + x^2) \cdot 1}{(x - 1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{-3x + 3 + 2x^2 - 2x - 1 + 3x - x^2}{(x - 1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} $$

Bước 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ E(2, -1) $
Thay $ x = 2 $ vào đạo hàm $ f'(x) $:
$$ f'(2) = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 + 2}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 + 2}{1} = 2 $$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $ a = 2 $.

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến có dạng $ y = ax + b $. Ta đã biết $ a = 2 $ và điểm $ E(2, -1) $ nằm trên tiếp tuyến, nên thay vào phương trình:
$$ -1 = 2 \cdot 2 + b $$
$$ -1 = 4 + b $$
$$ b = -5 $$

Bước 5: Tính $ 2a - 5b $
$$ 2a - 5b = 2 \cdot 2 - 5 \cdot (-5) = 4 + 25 = 29 $$

Vậy $ 2a - 5b = 29 $.

Đáp số: $ 29 $.