giải toán tự luận Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x+1}1=\frac{y-2}{-1}=\frac z2$ và điểm $A(2;-1;2).$,a). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và song song với $\Delta.$,b). Cho mặt phẳng $(P):~2x-y+z+3=0.$ Tính góc giữa A và (P) (Kết quả làm tròn đến,hàng phần mười của độ).,BÀI LÀM TỰ LUẬN

Question

Accepted Answer

a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1, -1, 2)$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2, -1, 2)$ và song song với $\Delta$, do đó cũng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1, -1, 2)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = -1 - t \
z = 2 + 2t
\end{cases}
$$

b) Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x - y + z + 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (2, -1, 1)$.

Để tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta cần tính góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Gọi $\theta$ là góc giữa vectơ $\vec{u}$ và vectơ $\vec{n}$. Ta có:
$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
$$
Trong đó:
$$
\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 2 + 1 + 2 = 5
$$
$$
|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
$$
$$
|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
$$
Do đó:
$$
\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}
$$

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là:
$$
\phi = 90^\circ - \theta
$$
$$
\sin \phi = \cos \theta = \frac{5}{6}
$$
$$
\phi = \arcsin \left(\frac{5}{6}\right)
$$

Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\phi$:
$$
\phi \approx 56.4^\circ
$$

Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng $56.4^\circ$.