giúp mình với GV: Nguyễn Mạnh Thang,b) Giải bất phương trình $\frac{2x+1}3\frac{3x-5}4.$,Câu 2. Cho biểu thức $P=(\frac1{\sqrt x+1}+\frac1{\sqrt x-1}-\frac2{x-1}).(1+\frac1{\sqrt x})$ với $x0;x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức P.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=P+8\sqrt x.$,$(m+1-1)=2m^2-m+1$

Question

giúp mình với GV: Nguyễn Mạnh Thang,b) Giải bất phương trình $\frac{2x+1}3>\frac{3x-5}4.$,Câu 2. Cho biểu thức $P=(\frac1{\sqrt x+1}+\frac1{\sqrt x-1}-\frac2{x-1}).(1+\frac1{\sqrt x})$ với $x>0;x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức P.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=P+8\sqrt x.$,$(m+1-1)=2m^2-m+1$

Accepted Answer

Để giải bất phương trình $\frac{2x+1}{3} > \frac{3x-5}{4}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả hai vế của bất phương trình với 12 để loại bỏ mẫu số: $$ 12 \times \frac{2x+1}{3} > 12 \times \frac{3x-5}{4} $$ Bước 2: Thực hiện phép nhân: $$ 4(2x + 1) > 3(3x - 5) $$ Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn: $$ 8x + 4 > 9x - 15 $$ Bước 4: Chuyển các hạng tử liên quan đến x sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: $$ 8x - 9x > -15 - 4 $$ $$ -x > -19 $$ Bước 5: Nhân cả hai vế với -1 và đổi dấu bất phương trình: $$ x < 19 $$ Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: $$ x < 19 $$ Câu 2. Điều kiện xác định: $ x > 0; x \neq 1 $. a) Rút gọn biểu thức $ P $: $$ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} \right) \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) $$ Tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc đơn đầu tiên: $$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} $$ Mẫu chung là $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = x - 1$. Rút gọn từng phân thức: $$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}, \quad \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}, \quad \frac{2}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} $$ Cộng các phân thức lại: $$ \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1 - 2}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} $$ Nhân với $(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$: $$ P = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \cdot \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} $$ Rút gọn: $$ P = \frac{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)\sqrt{x}} = \frac{2(x - 1)}{(x - 1)\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ Q = P + 8\sqrt{x} $: $$ Q = \frac{2}{\sqrt{x}} + 8\sqrt{x} $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ \frac{2}{\sqrt{x}} + 8\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\frac{2}{\sqrt{x}} \cdot 8\sqrt{x}} = 2\sqrt{16} = 8 $$ Đẳng thức xảy ra khi: $$ \frac{2}{\sqrt{x}} = 8\sqrt{x} \Rightarrow 2 = 8x \Rightarrow x = \frac{1}{4} $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ Q $ là 8, đạt được khi $ x = \frac{1}{4} $. Đáp số: $ Q_{min} = 8 $ khi $ x = \frac{1}{4} $.