giải bài 13,14,15 giúp mik vs ak ! d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trai uau.,Bài 13: Tìm m để phương trình $mx-\sqrt x+m=0$ có nghiệm (m là tham số,,Bài 14: Cho phương trình $x^2-2024mx-2025=0$ (m là tham số),a) Giải phương trình khi $m=1.$,b) Hãy tìm một đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình mà,thuộc vào tham số m.,c) Tìm m để $T=|x_1-x_2|$ đạt GTNN.,Bài 15: Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+4m+4=0$ (m là tham số),phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn:,$a)~x^2_1+x^2_2=4$ $b)~x_1(x_1+2)+x_2(x_2+2)=\frac{-3}2$

Question

Accepted Answer

Bài 13:
Để phương trình $mx - \sqrt{x} + m = 0$ có nghiệm, chúng ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho phương trình này có nghiệm.

Bước 1: Xác định điều kiện của $x$
- Vì $\sqrt{x}$ có nghĩa khi $x \geq 0$, nên $x$ phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Bước 2: Đặt $t = \sqrt{x}$, khi đó $x = t^2$ và phương trình trở thành:
$$ mt^2 - t + m = 0 $$

Bước 3: Xét phương trình bậc hai $mt^2 - t + m = 0$
- Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \geq 0$, trong đó $\Delta$ là дискриминант phương trình bậc hai.

Bước 4: Tính дискриминант $\Delta$
$$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot m \cdot m = 1 - 4m^2 $$

Bước 5: Điều kiện để phương trình có nghiệm
$$ 1 - 4m^2 \geq 0 $$
$$ 4m^2 \leq 1 $$
$$ m^2 \leq \frac{1}{4} $$
$$ |m| \leq \frac{1}{2} $$

Bước 6: Kết luận
Phương trình $mx - \sqrt{x} + m = 0$ có nghiệm khi $m$ thỏa mãn điều kiện:
$$ -\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2} $$

Đáp số: $-\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2}$

Bài 14:
a) Với $m=1$, ta có phương trình $x^2-2024x-2025=0$. 
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
$$ x_{1,2} = \frac{-(-2024) \pm \sqrt{(-2024)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2025)}}{2 \cdot 1} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 + 4 \cdot 2025}}{2} $$
$$ x_{1,2} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 + 8100}}{2} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 + 8100}}{2} $$
$$ x_{1,2} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 + 8100}}{2} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 + 8100}}{2} $$

b) Ta có phương trình $x^2 - 2024mx - 2025 = 0$. 
Theo định lý Vi-et, tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} $$
Áp dụng vào phương trình đã cho:
$$ x_1 + x_2 = 2024m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = -2025 $$

c) Ta cần tìm $m$ để $T = |x_1 - x_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Biểu thức $T = |x_1 - x_2|$ có thể viết lại dưới dạng:
$$ T = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} $$
Thay các giá trị theo định lý Vi-et:
$$ T = \sqrt{(2024m)^2 - 4(-2025)} = \sqrt{2024^2 m^2 + 4 \cdot 2025} $$
$$ T = \sqrt{2024^2 m^2 + 8100} $$

Để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần $2024^2 m^2 + 8100$ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nhận thấy rằng $2024^2 m^2$ luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của $2024^2 m^2 + 8100$ là khi $m = 0$.

Vậy, giá trị của $m$ để $T = |x_1 - x_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m = 0$.

Bài 15:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình đã cho là:
$$ x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 4m + 4 = 0 $$

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2(m+1) $$
$$ x_1 x_2 = m^2 + 4m + 4 $$

Phần a) $ x_1^2 + x_2^2 = 4 $

Ta biết rằng:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$

Thay vào các giá trị theo định lý Vi-et:
$$ x_1^2 + x_2^2 = [2(m+1)]^2 - 2(m^2 + 4m + 4) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 4(m+1)^2 - 2(m^2 + 4m + 4) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 4(m^2 + 2m + 1) - 2(m^2 + 4m + 4) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 8m - 8 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 2m^2 - 4 $$

Theo đề bài, ta có:
$$ 2m^2 - 4 = 4 $$
$$ 2m^2 = 8 $$
$$ m^2 = 4 $$
$$ m = 2 \text{ hoặc } m = -2 $$

Phần b) $ x_1(x_1 + 2) + x_2(x_2 + 2) = \frac{-3}{2} $

Ta biến đổi biểu thức:
$$ x_1(x_1 + 2) + x_2(x_2 + 2) = x_1^2 + 2x_1 + x_2^2 + 2x_2 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1 + x_2) = \frac{-3}{2} $$

Thay vào các giá trị theo định lý Vi-et:
$$ 2m^2 - 4 + 2[2(m+1)] = \frac{-3}{2} $$
$$ 2m^2 - 4 + 4(m+1) = \frac{-3}{2} $$
$$ 2m^2 - 4 + 4m + 4 = \frac{-3}{2} $$
$$ 2m^2 + 4m = \frac{-3}{2} $$
$$ 4m^2 + 8m = -3 $$
$$ 4m^2 + 8m + 3 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:
$$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} $$
$$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} $$
$$ m = \frac{-8 \pm 4}{8} $$
$$ m = \frac{-4}{8} \text{ hoặc } m = \frac{-12}{8} $$
$$ m = -\frac{1}{2} \text{ hoặc } m = -\frac{3}{2} $$

Kết luận:
a) $ m = 2 $ hoặc $ m = -2 $
b) $ m = -\frac{1}{2} $ hoặc $ m = -\frac{3}{2} $