Cvjjhhdzssaaas Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai,Câu 1. Cho hàm số $y=x^3+3x^2+1$ có đồ thị là (C). Khi đó :,a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1;3)$ là: $y=-3x+6$,b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y=24x-27$,c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1,Câu 2. Cho $f(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2-2x.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~f^\prime(x)=x^2+x-2$ $b)~f^\prime(x)=0$ có 1 nghiệm,$c)~f^\prime(x)=-2$ có 2 nghiệm $d)~f^\prime(x)=10$ có 1 nghiệm,Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sin^22x-\cos3x.$,Câu 2. Cho $f(x)=\sin^2x-\cos^2x-x.$ Khi đó $f^\prime(x)$ bằng?,Câu 3. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t)=2t+t^2.$,trong đó r tính bằng giây (s) và $t0,~v(t)$ tính bằng mét/giây. Tại thời điểm nào sau đây,chất điểm có gia tốc là $6m/s^2?$,Câu 4. Một vật có phương trình chuyển động $S(t)=4,9t^2$ trong đó t tính bằng giây (s), S(t) tính bằng,mét (m) . Vận tốc của vật tại thời điểm $t=6s$ bằng bao nhiêu?,2

Question

Cvjjhhdzssaaas Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai,Câu 1. Cho hàm số $y=x^3+3x^2+1$ có đồ thị là (C). Khi đó :,a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1;3)$ là: $y=-3x+6$,b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y=24x-27$,c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1,Câu 2. Cho $f(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2-2x.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~f^\prime(x)=x^2+x-2$ $b)~f^\prime(x)=0$ có 1 nghiệm,$c)~f^\prime(x)=-2$ có 2 nghiệm $d)~f^\prime(x)=10$ có 1 nghiệm,Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sin^22x-\cos3x.$,Câu 2. Cho $f(x)=\sin^2x-\cos^2x-x.$ Khi đó $f^\prime(x)$ bằng?,Câu 3. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t)=2t+t^2.$,trong đó r tính bằng giây (s) và $t>0,~v(t)$ tính bằng mét/giây. Tại thời điểm nào sau đây,chất điểm có gia tốc là $6m/s^2?$,Câu 4. Một vật có phương trình chuyển động $S(t)=4,9t^2$ trong đó t tính bằng giây (s), S(t) tính bằng,mét (m) . Vận tốc của vật tại thời điểm $t=6s$ bằng bao nhiêu?,2

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1;3)$

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 + 3x^2 + 1$:
$$ y' = 3x^2 + 6x $$

Bước 2: Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$:
$$ y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1;3)$:
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$ y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 $$
Ở đây, $x_0 = -1$, $y_0 = 3$, và $y'(-1) = -3$. Thay vào ta có:
$$ y = -3(x + 1) + 3 $$
$$ y = -3x - 3 + 3 $$
$$ y = -3x $$

Như vậy, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1;3)$ là:
$$ y = -3x $$

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

Bước 1: Tìm tọa độ điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 2:
$$ y(2) = 2^3 + 3(2^2) + 1 = 8 + 12 + 1 = 21 $$
Vậy điểm có hoành độ bằng 2 là $(2, 21)$.

Bước 2: Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 2$:
$$ y'(2) = 3(2)^2 + 6(2) = 12 + 12 = 24 $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, 21)$:
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$ y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 $$
Ở đây, $x_0 = 2$, $y_0 = 21$, và $y'(2) = 24$. Thay vào ta có:
$$ y = 24(x - 2) + 21 $$
$$ y = 24x - 48 + 21 $$
$$ y = 24x - 27 $$

Như vậy, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
$$ y = 24x - 27 $$

c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1

Bước 1: Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 1:
$$ x^3 + 3x^2 + 1 = 1 $$
$$ x^3 + 3x^2 = 0 $$
$$ x^2(x + 3) = 0 $$
$$ x = 0 \text{ hoặc } x = -3 $$

Bước 2: Tính giá trị đạo hàm tại các điểm $x = 0$ và $x = -3$:
- Tại $x = 0$:
$$ y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) = 0 $$
- Tại $x = -3$:
$$ y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm $(0, 1)$ và $(-3, 1)$:
- Tại điểm $(0, 1)$:
$$ y = 0(x - 0) + 1 $$
$$ y = 1 $$
- Tại điểm $(-3, 1)$:
$$ y = 9(x + 3) + 1 $$
$$ y = 9x + 27 + 1 $$
$$ y = 9x + 28 $$

Như vậy, có hai phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 là:
$$ y = 1 $$
$$ y = 9x + 28 $$

Kết luận:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-1;3)$ là: $y = -3x$
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là: $y = 24x - 27$
c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 là: $y = 1$ và $y = 9x + 28$

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên đạo hàm của hàm số $ f(x) $.

Bước 1: Tính đạo hàm của $ f(x) $.

$$ f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x $$

Tính đạo hàm:

$$ f'(x) = \left( \frac{x^3}{3} \right)' + \left( \frac{x^2}{2} \right)' - (2x)' $$
$$ f'(x) = x^2 + x - 2 $$

Vậy $ f'(x) = x^2 + x - 2 $. Mệnh đề $ a) $ là đúng.

Bước 2: Kiểm tra phương trình $ f'(x) = 0 $.

$$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $ với $ a = 1 $, $ b = 1 $, và $ c = -2 $. Ta tính delta:

$$ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$

Vì $ \Delta > 0 $, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 $$

Vậy phương trình $ f'(x) = 0 $ có hai nghiệm. Mệnh đề $ b) $ là sai.

Bước 3: Kiểm tra phương trình $ f'(x) = -2 $.

$$ x^2 + x - 2 = -2 $$
$$ x^2 + x = 0 $$
$$ x(x + 1) = 0 $$

Phương trình này có hai nghiệm:

$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$

Vậy phương trình $ f'(x) = -2 $ có hai nghiệm. Mệnh đề $ c) $ là đúng.

Bước 4: Kiểm tra phương trình $ f'(x) = 10 $.

$$ x^2 + x - 2 = 10 $$
$$ x^2 + x - 12 = 0 $$

Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $ với $ a = 1 $, $ b = 1 $, và $ c = -12 $. Ta tính delta:

$$ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $$

Vì $ \Delta > 0 $, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $$
$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 $$

Vậy phương trình $ f'(x) = 10 $ có hai nghiệm. Mệnh đề $ d) $ là sai.

Kết luận:
- Mệnh đề $ a) $ là đúng.
- Mệnh đề $ b) $ là sai.
- Mệnh đề $ c) $ là đúng.
- Mệnh đề $ d) $ là sai.

Câu 1.
Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và công thức đạo hàm của các hàm lượng giác.

Bước 1: Tính đạo hàm của $\sin^2(2x)$

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của $\sin(u)$:
$$ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot (\sin(2x))' $$
$$ (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $$

Do đó:
$$ (\sin^2(2x))' = 2 \cdot \sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x) $$

Bước 2: Tính đạo hàm của $-\cos(3x)$

Áp dụng công thức đạo hàm của $\cos(u)$:
$$ (-\cos(3x))' = -(-\sin(3x)) \cdot (3x)' = \sin(3x) \cdot 3 = 3\sin(3x) $$

Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm đạo hàm của $f(x)$

$$ f'(x) = (\sin^2(2x))' + (-\cos(3x))' $$
$$ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) $$

Vậy đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin^2(2x) - \cos(3x)$ là:
$$ f'(x) = 4\sin(2x)\cos(2x) + 3\sin(3x) $$

Câu 2.
Để tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x - x $, ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản.

Bước 1: Tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong biểu thức.

- Đạo hàm của $ \sin^2 x $:
$$ (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x $$

- Đạo hàm của $ \cos^2 x $:
$$ (\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $$

- Đạo hàm của $ x $:
$$ (x)' = 1 $$

Bước 2: Kết hợp các đạo hàm đã tìm được:
$$ f'(x) = (\sin^2 x)' - (\cos^2 x)' - (x)' $$
$$ f'(x) = \sin 2x - (-\sin 2x) - 1 $$
$$ f'(x) = \sin 2x + \sin 2x - 1 $$
$$ f'(x) = 2 \sin 2x - 1 $$

Vậy đạo hàm của hàm số $ f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x - x $ là:
$$ f'(x) = 2 \sin 2x - 1 $$

Câu 3.
Để tìm thời điểm mà chất điểm có gia tốc là $6 m/s^2$, ta cần biết rằng gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian.

Bước 1: Tính đạo hàm của vận tốc để tìm gia tốc:
$$ v(t) = 2t + t^2 $$
$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = 2 + 2t $$

Bước 2: Đặt gia tốc bằng $6 m/s^2$ và giải phương trình:
$$ 2 + 2t = 6 $$
$$ 2t = 6 - 2 $$
$$ 2t = 4 $$
$$ t = 2 $$

Vậy tại thời điểm $t = 2$ giây, chất điểm có gia tốc là $6 m/s^2$.

Câu 4.
Để tìm vận tốc của vật tại thời điểm $ t = 6 $ giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động $ S(t) $ để tìm phương trình vận tốc $ v(t) $.

Phương trình chuyển động của vật là:
$$ S(t) = 4,9t^2 $$

Ta tính đạo hàm của $ S(t) $ theo thời gian $ t $:
$$ v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = \frac{d(4,9t^2)}{dt} = 4,9 \cdot 2t = 9,8t $$

Bây giờ, ta thay $ t = 6 $ vào phương trình vận tốc $ v(t) $:
$$ v(6) = 9,8 \cdot 6 = 58,8 \text{ m/s} $$

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $ t = 6 $ giây là:
$$ \boxed{58,8 \text{ m/s}} $$