Giúp em với ạ Câu 21,Biết rằng $\int^1_0\frac{2e^{2x}+e^x-3}{e^x}dx=\frac{m.e^2+n.e+p}e.$ (với,$m,n,p\in\mathbb Z).$ Khi đó $m+2n-$ pcó giá trị bằng bao,nhiêu?,Nhập đáp án

Question

Accepted Answer

Câu 21
Để tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+e^x-3}{e^x}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân:
$$
\frac{2e^{2x} + e^x - 3}{e^x} = 2e^x + 1 - \frac{3}{e^x}
$$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$
\int^1_0 \left(2e^x + 1 - \frac{3}{e^x}\right) dx = \int^1_0 2e^x \, dx + \int^1_0 1 \, dx - \int^1_0 \frac{3}{e^x} \, dx
$$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int^1_0 2e^x \, dx = 2 \left[ e^x \right]^1_0 = 2(e^1 - e^0) = 2(e - 1)
$$
$$
\int^1_0 1 \, dx = [x]^1_0 = 1 - 0 = 1
$$
$$
\int^1_0 \frac{3}{e^x} \, dx = 3 \int^1_0 e^{-x} \, dx = 3 \left[-e^{-x}\right]^1_0 = 3(-e^{-1} + e^0) = 3(1 - \frac{1}{e})
$$

Bước 4: Cộng các kết quả lại:
$$
\int^1_0 \left(2e^x + 1 - \frac{3}{e^x}\right) dx = 2(e - 1) + 1 - 3(1 - \frac{1}{e}) 
= 2e - 2 + 1 - 3 + \frac{3}{e}
= 2e - 4 + \frac{3}{e}
$$

Bước 5: Viết dưới dạng phân số:
$$
2e - 4 + \frac{3}{e} = \frac{2e^2 - 4e + 3}{e}
$$

So sánh với $\frac{m.e^2 + n.e + p}{e}$, ta nhận thấy:
$$
m = 2, \quad n = -4, \quad p = 3
$$

Bước 6: Tính $m + 2n - p$:
$$
m + 2n - p = 2 + 2(-4) - 3 = 2 - 8 - 3 = -9
$$

Vậy, giá trị của $m + 2n - p$ là:
$$
\boxed{-9}
$$