Giúp em với mn oi Câu 22,Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu,$(S):~(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{13}2$ và ba,điểm $A(-1;2;3),~B(0;4;6),~C(-2;1;5);$,$M(a;b;c)$ là điểm thay đổi trên ( S ) sao cho biểu thức,$2MA^2+MB^2-2MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của,biểu thức $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 22
Ta có:
$$ 
2MA^2 + MB^2 - 2MC^2 = 2[(x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2] + [(x-0)^2 + (y-4)^2 + (z-6)^2] - 2[(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-5)^2]
$$

$$ 
= 2[x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9] + [x^2 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 12z + 36] - 2[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 10z + 25]
$$

$$ 
= 2x^2 + 4x + 2 + 2y^2 - 8y + 8 + 2z^2 - 12z + 18 + x^2 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 12z + 36 - 2x^2 - 8x - 8 - 2y^2 + 4y - 2 - 2z^2 + 20z - 50
$$

$$ 
= x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 12y + 4z + 12
$$

$$ 
= (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 12y + 36) + (z^2 + 4z + 4) - 32
$$

$$ 
= (x-2)^2 + (y-6)^2 + (z+2)^2 - 32
$$

Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi $(x-2)^2 + (y-6)^2 + (z+2)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Do $M(a,b,c)$ nằm trên mặt cầu $(S)$, ta có:
$$ 
(x+2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = \frac{13}{2}
$$

Ta cần tìm điểm $M(a,b,c)$ trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm $D(2,6,-2)$ là nhỏ nhất. Điểm này sẽ là giao của đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu $I(-2,3,1)$ và điểm $D(2,6,-2)$ với mặt cầu.

Phương trình đường thẳng đi qua $I(-2,3,1)$ và $D(2,6,-2)$:
$$ 
\frac{x+2}{4} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-3} = t
$$

Tọa độ của điểm $M$ trên đường thẳng này là:
$$ 
x = 4t - 2, \quad y = 3t + 3, \quad z = -3t + 1
$$

Thay vào phương trình mặt cầu:
$$ 
(4t - 2 + 2)^2 + (3t + 3 - 3)^2 + (-3t + 1 - 1)^2 = \frac{13}{2}
$$

$$ 
(4t)^2 + (3t)^2 + (-3t)^2 = \frac{13}{2}
$$

$$ 
16t^2 + 9t^2 + 9t^2 = \frac{13}{2}
$$

$$ 
34t^2 = \frac{13}{2}
$$

$$ 
t^2 = \frac{13}{68}
$$

$$ 
t = \pm \sqrt{\frac{13}{68}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{17}}
$$

Lấy giá trị $t = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{17}}$:
$$ 
x = 4 \left(\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{17}}\right) - 2 = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{17}} - 2
$$

$$ 
y = 3 \left(\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{17}}\right) + 3 = \frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 3
$$

$$ 
z = -3 \left(\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{17}}\right) + 1 = -\frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 1
$$

Tính $a + b + c$:
$$ 
a + b + c = \left(\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{17}} - 2\right) + \left(\frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 3\right) + \left(-\frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 1\right)
$$

$$ 
= \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{17}} - 2 + \frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 3 - \frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{17}} + 1
$$

$$ 
= \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{17}} - 2 + 3 + 1
$$

$$ 
= \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{17}} + 2
$$

$$ 
= 2
$$

Vậy giá trị của biểu thức $a + b + c$ là $2$.