Giải hộ tớ với ạ toặn: Hoảng Đất Chứng Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian,Câu 42: (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(2+3)$ và đường thẳng,mặt phẳng $4,~\frac{x+1}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{x-2}2.$ Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Oy có,tiếm $M(x_1;x_2;x_2)$ phương trình là,$A.\left\{\begin{array}lx=2x\y=-3+4\x=2x\end{array} ight.$ $B.\left[\begin{array}lx=2+2\x=1+1\x=3+30\end{array} ight.$ $C.\left[\begin{array}lx=2+2\y=1+x\x=3+y\end{array} ight.$ $D.\left[\begin{array}lx=2t\y=-3+3\x=2\end{array} ight.$,lếm,Dạng 7. Phương trình đường thẳng hình chiếu, đối xứng lên mặt phẳng,Câu 43: (Mã 101-2021-Lần 1) Trong không gian Oxya , cho đường thẳng $4:\frac x4=\frac{y-1}1=\frac{x-1}{-7}$,và mặt phẳng $(P):~x+2y+x-4=0.$ . Hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường,thẳng có phương trình,$I=\frac{k-3}1$ và $A.~\frac x2=\frac{y+1}1=\frac{z+2}4$ $B.~\frac x2=\frac{y+1}{-2}=\frac{x+2}1$,ing d và,$C.~\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{x-2}{-4}.$ $D.~\frac x2=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}1$,b. ts,Câu 44: (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng,n.A'llà $4.~\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{x-3}4.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu,vuông góc của 4 trên mặt phẳng $x+3=0)$,$A.\left|\begin{array}lx=-3\y=-5+2i\x=3-i\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=-3\y=-6-1\x=7+4\end{array} ight.$ $C\left|\begin{array}lx=-3\y=-6-t\t=-3+4\end{array} ight.$ $D.\left|\begin{array}lx=-3\y=-5+1\x=3+9\end{array} ight.$,Câu 45: (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$,và đường thẳng $d:\frac z1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}$ . Hình chiếu vuông góc của d trên $(p)$ có,phương trình là,Trang %

Question

Giải hộ tớ với ạ toặn: Hoảng Đất Chứng Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian,Câu 42: (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(2+3)$ và đường thẳng,mặt phẳng $4,~\frac{x+1}1=\frac{y-1}{-2}=\frac{x-2}2.$ Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Oy có,tiếm $M(x_1;x_2;x_2)$ phương trình là,$A.\left\{\begin{array}lx=2x\y=-3+4\x=2x\end{array}ight.$ $B.\left[\begin{array}lx=2+2\x=1+1\x=3+30\end{array}ight.$ $C.\left[\begin{array}lx=2+2\y=1+x\x=3+y\end{array}ight.$ $D.\left[\begin{array}lx=2t\y=-3+3\x=2\end{array}ight.$,lếm,Dạng 7. Phương trình đường thẳng hình chiếu, đối xứng lên mặt phẳng,Câu 43: (Mã 101-2021-Lần 1) Trong không gian Oxya , cho đường thẳng $4:\frac x4=\frac{y-1}1=\frac{x-1}{-7}$,và mặt phẳng $(P):~x+2y+x-4=0.$ . Hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường,thẳng có phương trình,$I=\frac{k-3}1$ và $A.~\frac x2=\frac{y+1}1=\frac{z+2}4$ $B.~\frac x2=\frac{y+1}{-2}=\frac{x+2}1$,ing d và,$C.~\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{x-2}{-4}.$ $D.~\frac x2=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}1$,b. ts,Câu 44: (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng,n.A'llà $4.~\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{x-3}4.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu,vuông góc của 4 trên mặt phẳng $x+3=0)$,$A.\left|\begin{array}lx=-3\y=-5+2i\x=3-i\end{array}ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=-3\y=-6-1\x=7+4\end{array}ight.$ $C\left|\begin{array}lx=-3\y=-6-t\t=-3+4\end{array}ight.$ $D.\left|\begin{array}lx=-3\y=-5+1\x=3+9\end{array}ight.$,Câu 45: (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$,và đường thẳng $d:\frac z1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}$ . Hình chiếu vuông góc của d trên $(p)$ có,phương trình là,Trang %

Accepted Answer

Câu 42:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ và tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và trục $Oy$.
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$.

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ có phương trình:
$$
\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{2}
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u_d} = (1, -2, 2)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và trục $Oy$

Trục $Oy$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_y} = (0, 1, 0)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và trục $Oy$ là:
$$
\vec{n} = \vec{u_d} \times \vec{u_y} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & -2 & 2 \
0 & 1 & 0
\end{vmatrix} = (-2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) \vec{j} + (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) \vec{k} = (-2, 0, 1)
$$

Bước 3: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$

Điểm $A$ có tọa độ $(2, 3, 4)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ sẽ có vectơ chỉ phương là $\vec{n} = (-2, 0, 1)$.

Bước 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(2, 3, 4)$ và có vectơ chỉ phương $(-2, 0, 1)$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 - 2t \
y = 3 \
z = 4 + t
\end{array}
\right.
$$

Do đó, phương án đúng là:
$$
D.\left\{
\begin{array}{l}
x = 2t \
y = -3 + 3 \
z = 2
\end{array}
\right.
$$

Đáp án: D.

Câu 43:
Để tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điểm thuộc đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x}{4} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-7}
   $$
   Gọi $t$ là tham số, ta có:
   $$
   x = 4t, \quad y = t + 1, \quad z = -7t + 1
   $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình:
   $$
   x + 2y + z - 4 = 0
   $$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
   $$
   \vec{n} = (1, 2, 1)
   $$

3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u} = (4, 1, -7)
   $$

4. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu:
   Gọi $M(t)$ là điểm trên đường thẳng $d$. Ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu $d'$ từ $M(t)$ xuống mặt phẳng $(P)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu $d'$ là:
   $$
   \vec{v} = \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{n}) \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|^2}
   $$

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-7) \cdot 1 = 4 + 2 - 7 = -1
   $$

Tính bình phương độ dài vectơ pháp tuyến $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}|^2 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6
   $$

Tính vectơ $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|^2}$:
   $$
   \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|^2} = \left( \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6} \right) = \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)
   $$

Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu $d'$:
   $$
   \vec{v} = (4, 1, -7) - (-1) \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right) = (4, 1, -7) + \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right) = \left( 4 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{1}{3}, -7 + \frac{1}{6} \right)
   $$
   $$
   \vec{v} = \left( \frac{24}{6} + \frac{1}{6}, \frac{3}{3} + \frac{1}{3}, \frac{-42}{6} + \frac{1}{6} \right) = \left( \frac{25}{6}, \frac{4}{3}, \frac{-41}{6} \right)
   $$

5. Tìm phương trình của đường thẳng hình chiếu:
   Đường thẳng hình chiếu $d'$ đi qua điểm $M(t)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$. Ta chọn điểm $M(0)$ trên đường thẳng $d$ (tức là $t = 0$):
   $$
   M(0) = (0, 1, 1)
   $$

Phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu $d'$ là:
   $$
   \frac{x - 0}{\frac{25}{6}} = \frac{y - 1}{\frac{4}{3}} = \frac{z - 1}{\frac{-41}{6}}
   $$

Đơn giản hóa phương trình:
   $$
   \frac{x}{\frac{25}{6}} = \frac{y - 1}{\frac{4}{3}} = \frac{z - 1}{\frac{-41}{6}}
   $$
   $$
   \frac{6x}{25} = \frac{3(y - 1)}{4} = \frac{6(z - 1)}{-41}
   $$

Chọn $k$ là tham số, ta có:
   $$
   \frac{x}{\frac{25}{6}} = k \Rightarrow x = \frac{25}{6}k
   $$
   $$
   \frac{y - 1}{\frac{4}{3}} = k \Rightarrow y - 1 = \frac{4}{3}k \Rightarrow y = \frac{4}{3}k + 1
   $$
   $$
   \frac{z - 1}{\frac{-41}{6}} = k \Rightarrow z - 1 = \frac{-41}{6}k \Rightarrow z = \frac{-41}{6}k + 1
   $$

Vậy phương trình của đường thẳng hình chiếu $d'$ là:
   $$
   \frac{x}{\frac{25}{6}} = \frac{y - 1}{\frac{4}{3}} = \frac{z - 1}{\frac{-41}{6}}
   $$

Đáp án đúng là:
   $$
   \boxed{D.~\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{1}}
   $$

Câu 44:
Để tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điểm thuộc đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 5}{-1} = \frac{z - 3}{4}
   $$
   Ta chọn điểm $M_0(1, -5, 3)$ thuộc đường thẳng $d$.

2. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm $M_0$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$:
   Mặt phẳng $x + 3 = 0$ có phương pháp vuông góc là $n = (1, 0, 0)$. 
   
   Đường thẳng đi qua $M_0(1, -5, 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $x + 3 = 0$ có phương trình tham số:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 1 + t \
   y = -5 \
   z = 3
   \end{array}
   \right.
   $$

Thay vào phương trình mặt phẳng $x + 3 = 0$:
   $$
   1 + t + 3 = 0 \implies t = -4
   $$

Tọa độ của điểm hình chiếu $M'$ là:
   $$
   M'(-3, -5, 3)
   $$

3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (2, -1, 4)$.

4. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$:
   Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$ sẽ là đường thẳng đi qua điểm $M'(-3, -5, 3)$ và có vectơ chỉ phương là hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (2, -1, 4)$. Ta cần tìm hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$.

Vì mặt phẳng $x + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $(1, 0, 0)$, nên phần hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng này là:
   $$
   \vec{u'} = (0, -1, 4)
   $$

Vậy phương trình của đường thẳng hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = -3 \
   y = -5 - t \
   z = 3 + 4t
   \end{array}
   \right.
   $$

Do đó, phương án đúng là:
$$ C. \left\{
   \begin{array}{l}
   x = -3 \
   y = -6 - t \
   z = 7 + 4t
   \end{array}
   \right.
$$

Đáp án: C.

Câu 45:
Để tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điểm thuộc đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-1}
   $$
   Gọi $t$ là tham số, ta có:
   $$
   x = t + 2, \quad y = 2t - 1, \quad z = -t + 2
   $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + y + z - 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1, 2, -1)$.

4. Tìm vectơ chỉ phương của hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$:
   Gọi $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương của hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$. Ta có:
   $$
   \vec{v} = \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{n}) \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|^2}
   $$
   Tính $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2
   $$
   Tính $\|\vec{n}\|^2$:
   $$
   \|\vec{n}\|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
   $$
   Vậy:
   $$
   \vec{v} = (1, 2, -1) - 2 \cdot \frac{(1, 1, 1)}{3} = (1, 2, -1) - \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3}\right)
   $$

5. Tìm điểm chung giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$:
   Thay $x = t + 2$, $y = 2t - 1$, $z = -t + 2$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
   $$
   (t + 2) + (2t - 1) + (-t + 2) - 3 = 0
   $$
   $$
   t + 2 + 2t - 1 - t + 2 - 3 = 0
   $$
   $$
   2t = 0 \implies t = 0
   $$
   Khi $t = 0$, ta có điểm $A(2, -1, 2)$.

6. Viết phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$:
   Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ đi qua điểm $A(2, -1, 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3}\right)$. Phương trình tham số của hình chiếu vuông góc là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2 + \frac{1}{3}k \
   y = -1 + \frac{4}{3}k \
   z = 2 - \frac{5}{3}k
   \end{cases}
   $$
   hoặc viết dưới dạng phương trình đoạn thẳng:
   $$
   \frac{x - 2}{\frac{1}{3}} = \frac{y + 1}{\frac{4}{3}} = \frac{z - 2}{-\frac{5}{3}}
   $$
   $$
   \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{-5}
   $$

Vậy phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ là:
$$
\boxed{\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{-5}}
$$