Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Để tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích cố định là 48 cm², ta dùng kiến thức toán học như sau:

Gọi:

• Chiều dài là aa, chiều rộng là bb, với a,b>0a, b > 0
• Diện tích: ab=48ab = 48
• Chu vi: P=2(a+b)P = 2(a + b)

Mục tiêu:

Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi P=2(a+b)P = 2(a + b), với điều kiện ab=48ab = 48

Cách làm:

Từ ab=48ab = 48, ta suy ra b=48ab = \frac{48}{a}

Thay vào công thức chu vi:

P=2(a+48a)P = 2\left(a + \frac{48}{a}\right)Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P(a)=2(a+48a)P(a) = 2\left(a + \frac{48}{a}\right)Dùng bất đẳng thức:

Theo bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng ≥ trung bình nhân):

a+48a≥2a⋅48a=248a + \frac{48}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{48}{a}} = 2\sqrt{48}⇒P=2(a+48a)≥448\Rightarrow P = 2\left(a + \frac{48}{a}\right) \geq 4\sqrt{48}48=16⋅3=43⇒P≥4⋅43=163≈27.71\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \Rightarrow P \geq 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \approx 27.71Dấu “=” xảy ra khi a=48a⇒a2=48⇒a=48=43a = \frac{48}{a} \Rightarrow a^2 = 48 \Rightarrow a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}

=> Hình chữ nhật khi đó là hình vuông, cạnh a=b=48=43a = b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}

Kết luận:

• Chu vi nhỏ nhất là:

P=2(a+b)=2(43+43)=163≈27.71 cmP = 2(a + b) = 2(4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 16\sqrt{3} \approx 27.71 \text{ cm}