làm được không Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức,$P=\frac{2x^2-x+1}{x^2-x+1}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 - x + 1} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét biểu thức $ P $ dưới dạng một phương trình đại số.
$$ P = \frac{2x^2 - x + 1}{x^2 - x + 1} $$

Bước 2: Nhân cả tử và mẫu với $ x^2 - x + 1 $:
$$ P(x^2 - x + 1) = 2x^2 - x + 1 $$

Bước 3: Đặt $ y = x^2 - x + 1 $, ta có:
$$ Py = 2x^2 - x + 1 $$
$$ Py = 2y + x $$

Bước 4: Chuyển $ 2y $ sang vế trái:
$$ Py - 2y = x $$
$$ y(P - 2) = x $$

Bước 5: Ta thấy rằng $ y = x^2 - x + 1 \geq \frac{3}{4} $ vì $ x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} $.

Bước 6: Để $ P $ đạt giá trị lớn nhất, ta cần $ P - 2 $ lớn nhất. Do đó, ta xét $ P - 2 $ khi $ y $ đạt giá trị nhỏ nhất, tức là $ y = \frac{3}{4} $.

Bước 7: Thay $ y = \frac{3}{4} $ vào phương trình $ y(P - 2) = x $:
$$ \frac{3}{4}(P - 2) = x $$

Bước 8: Ta cần tìm giá trị của $ P $ sao cho $ x $ là số thực. Điều này có nghĩa là $ P - 2 $ phải là số thực. Do đó, ta xét $ P - 2 $ khi $ y = \frac{3}{4} $:
$$ P - 2 = \frac{4}{3} $$
$$ P = \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3} $$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $ P $ là $ \frac{10}{3} $, đạt được khi $ x = \frac{1}{2} $.

Đáp số: $ P_{max} = \frac{10}{3} $ khi $ x = \frac{1}{2} $.