giúp e với ạ Câu 6: Đường phẳng $\Delta:\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac{z-3}2$ $-22$,$(S):~x^2+y^2+z^2-2x+2y-6z+10=0$ cắt mặt cầu,tại hai điểm phân biệt A, B . Tính độ dài đoạn thẳng,AB.,----- HẾT -----

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S):
   Mặt cầu (S) có phương trình: 
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 6z + 10 = 0
   $$
   Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương:
   $$
   (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 - 10 = 1 + 1 + 9 - 10 = 1
   $$
   Vậy tâm của mặt cầu là $ I(1, -1, 3) $ và bán kính $ R = 1 $.

2. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình:
   $$
   \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{2}
   $$
   Vector chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (2, 1, 2)$. Tâm của mặt cầu là $ I(1, -1, 3) $.

Ta tìm khoảng cách từ điểm $ I $ đến đường thẳng $\Delta$:
   $$
   d(I, \Delta) = \frac{\left| \vec{PI} \times \vec{d} \right|}{|\vec{d}|}
   $$
   Điểm $ P $ trên đường thẳng $\Delta$ có tọa độ $ P(1, -1, 3) $ (điểm này trùng với tâm của mặt cầu).

Vector $\vec{PI}$ là:
   $$
   \vec{PI} = (1 - 1, -1 + 1, 3 - 3) = (0, 0, 0)
   $$

Do đó, $\vec{PI} \times \vec{d} = (0, 0, 0)$, và:
   $$
   |\vec{PI} \times \vec{d}| = 0
   $$

Khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   d(I, \Delta) = \frac{0}{|\vec{d}|} = 0
   $$

3. Tính độ dài đoạn thẳng AB:
   Vì khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $\Delta$ là 0, tức là đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm của mặt cầu. Do đó, đoạn thẳng AB sẽ là đường kính của mặt cầu.

Độ dài đoạn thẳng AB là:
   $$
   AB = 2R = 2 \times 1 = 2
   $$

Đáp số: Độ dài đoạn thẳng AB là 2.