Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh AH . BC = AB . AC
b) Giả sử với AB = 9cm, AC = 12cm. Tính DE.
c) Chứng minh rằng AH^2 = DA . DB + EA . EC
d) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE, cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

Question

Accepted Answer

a) Chứng minh $AH \cdot BC = AB \cdot AC$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Ta có:

Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{2} AB \cdot AC$.

Mặt khác, diện tích tam giác $ABC$ cũng bằng $\frac{1}{2} AH \cdot BC$.

Vậy, $\frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} AH \cdot BC$.

Suy ra $AH \cdot BC = AB \cdot AC$.

b) Tính $DE$ với $AB = 9$ cm, $AC = 12$ cm

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$BC = \sqrt{225} = 15$ (cm)

Áp dụng công thức ở câu a) ta có: $AH \cdot BC = AB \cdot AC$, suy ra $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2$ (cm)

Xét tứ giác $ADHE$ có $\angle ADH = \angle AEH = \angle DAE = 90^\circ$, suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật.

Do đó, $DE = AH = 7.2$ (cm).

c) Chứng minh $AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC$

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, đường cao $HD$, ta có:

$AH^2 = AD \cdot AB$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự, xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$, đường cao $HE$, ta có:

$AH^2 = AE \cdot AC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có $AD \cdot AB + AE \cdot AC = AH^2 + AH^2 = 2AH^2$. (không giống yêu cầu bài toán)

Ta có $ADHE$ là hình chữ nhật suy ra $AD=HE$, $AE=DH$.

Ta có $AD.DB+AE.EC = HE.DB + DH.EC$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có $HD$ là đường cao.

$AH^2 = AD.AB$.

$DH^2 = AD.DB$.

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$ có $HE$ là đường cao.

$AH^2= AE.AC$.

$HE^2 = AE.EC$.

Ta lại có $AD.DB + AE.EC = DH^2+EH^2=DE^2 =AH^2$ (Do $ADHE$ là hình chữ nhật).

Vậy $AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC$.

d) Chứng minh $I$ là trung điểm của $BC$

Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $DE$. Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên $M$ là trung điểm của $AH$ và $DE$.

Vì $AI \perp DE$ tại $M$ nên $ riangle ADE$ cân tại $A$. Suy ra $AD=AE$.

Ta có $AB \cdot AD = AH^2 = AC \cdot AE$, suy ra $AB = AC$.

Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến, suy ra $H$ là trung điểm của $BC$.

Mà $AI \equiv AH$ (vì cùng vuông góc với $DE$) nên $I \equiv H$.

Vậy $I$ là trung điểm của $BC$.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh AH . BC = AB . AC b) Giả sử với AB = 9cm, AC = 12cm. Tính DE. c) Chứng minh rằng AH^2 = DA...