Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Dạng 8: Nâng cao,Bài 8.1. Cho x, y, z thuộc Z. Chứng minh rằng: $S=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^*$,số chính phương.,Bài 8.2. a) Tìm GTNN của $A=x^2+2y^2+2xy+2x-4y+2013$,b) Tìm GTNN của $D=\frac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}~~(x\in R)$,Bài 8.3. Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện,$a^2-b=b^2-c=c^2-a.$ Chứng minh rằng: $a+b+1~b+c+1~c+a+1=-1$,Bài 8.4. Giải phương trình $(x-6)^4+(x-8)^4=16$

Question

Accepted Answer

Bài 8.1.
Để chứng minh rằng $ S = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y^4 $ là số chính phương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét biểu thức $ S $:
$$ S = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y^4 $$

Bước 2: Nhóm các thừa số lại để dễ dàng nhận thấy cấu trúc:
$$ S = [(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)] + y^4 $$

Bước 3: Nhân từng cặp thừa số:
$$ (x+y)(x+4y) = x^2 + 4xy + xy + 4y^2 = x^2 + 5xy + 4y^2 $$
$$ (x+2y)(x+3y) = x^2 + 3xy + 2xy + 6y^2 = x^2 + 5xy + 6y^2 $$

Bước 4: Thay kết quả này vào biểu thức $ S $:
$$ S = (x^2 + 5xy + 4y^2)(x^2 + 5xy + 6y^2) + y^4 $$

Bước 5: Đặt $ a = x^2 + 5xy + 4y^2 $ và $ b = x^2 + 5xy + 6y^2 $. Ta có:
$$ S = ab + y^4 $$

Bước 6: Nhận thấy rằng $ b = a + 2y^2 $, thay vào biểu thức:
$$ S = a(a + 2y^2) + y^4 $$
$$ S = a^2 + 2ay^2 + y^4 $$

Bước 7: Nhận thấy rằng $ S $ có dạng $ a^2 + 2ay^2 + y^4 $, đây là một hằng đẳng thức:
$$ S = (a + y^2)^2 $$

Bước 8: Thay lại giá trị của $ a $:
$$ a = x^2 + 5xy + 4y^2 $$
$$ S = (x^2 + 5xy + 4y^2 + y^2)^2 $$
$$ S = (x^2 + 5xy + 5y^2)^2 $$

Vậy, $ S $ là số chính phương, cụ thể là:
$$ S = (x^2 + 5xy + 5y^2)^2 $$

Đáp số: $ S $ là số chính phương.

Bài 8.2.
a) Ta có:
$$ A = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 2013 $$

Nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức:
$$ A = (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) + (x^2 + 2x + 1) + 2008 $$

Áp dụng hằng đẳng thức:
$$ A = (x + y)^2 + (y - 2)^2 + (x + 1)^2 + 2008 $$

Vì các bình phương đều không âm, nên:
$$ (x + y)^2 \geq 0 $$
$$ (y - 2)^2 \geq 0 $$
$$ (x + 1)^2 \geq 0 $$

Do đó:
$$ A \geq 2008 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 2008, đạt được khi:
$$ x + y = 0 $$
$$ y - 2 = 0 $$
$$ x + 1 = 0 $$

Từ đây ta có:
$$ y = 2 $$
$$ x = -1 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 2008, đạt được khi $ x = -1 $ và $ y = 2 $.

b) Ta có:
$$ D = \frac{2x^2 - 16x + 41}{x^2 - 8x + 22} $$

Nhóm các hạng tử ở tử và mẫu để dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức:
$$ D = \frac{2(x^2 - 8x + 16) + 9}{x^2 - 8x + 22} $$

Áp dụng hằng đẳng thức:
$$ D = \frac{2(x - 4)^2 + 9}{(x - 4)^2 + 18} $$

Gọi $ t = (x - 4)^2 \geq 0 $, ta có:
$$ D = \frac{2t + 9}{t + 18} $$

Ta biến đổi biểu thức này:
$$ D = 2 - \frac{27}{t + 18} $$

Vì $ t \geq 0 $, nên $ t + 18 \geq 18 $. Do đó:
$$ \frac{27}{t + 18} \leq \frac{27}{18} = \frac{3}{2} $$

Vậy:
$$ D \geq 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} $$

Giá trị nhỏ nhất của $ D $ là $\frac{1}{2}$, đạt được khi:
$$ t = 0 $$
$$ (x - 4)^2 = 0 $$
$$ x = 4 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ D $ là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $ x = 4 $.

Bài 8.3.
Ta có: $a^2-b=b^2-c$
Suy ra: $a^2-b^2=b-c$
Suy ra: $(a-b)(a+b)=b-c$ (1)
Tương tự ta có: $(b-c)(b+c)=c-a$ (2)
$(c-a)(c+a)=a-b$ (3)
Nhân vế theo vế các đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
$(a-b)(a+b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)=(b-c)(c-a)(a-b)$
Suy ra: $(a+b)(b+c)(c+a)=1$
Suy ra: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)}{1}=2(a+b+c)$
Mặt khác ta có: $(a-b)(a+b)=b-c$
Suy ra: $a-b=\frac{b-c}{a+b}$
Tương tự ta có: $b-c=\frac{c-a}{b+c}$ và $c-a=\frac{a-b}{c+a}$
Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên ta có:
$a-b+b-c+c-a=\frac{b-c}{a+b}+\frac{c-a}{b+c}+\frac{a-b}{c+a}$
Suy ra: $0=(b-c)(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c})+(c-a)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a})+(a-b)(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b})$
Suy ra: $0=(b-c)\frac{c-a}{(a+b)(b+c)}+(c-a)\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}+(a-b)\frac{b-c}{(c+a)(a+b)}$
Suy ra: $0=(b-c)(c-a)(a-b)\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Suy ra: $0=(b-c)(c-a)(a-b)\frac{2(a+b+c)}{1}$
Suy ra: $a+b+c=0$
Suy ra: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=2(a+b+c)=0$
Suy ra: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=0$
Suy ra: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=-\frac{1}{c+a}$
Suy ra: $\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=-\frac{a+b+c}{c+a}$
Suy ra: $1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}=-1-\frac{b}{c+a}$
Suy ra: $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=-1$
Suy ra: $a+b+1~b+c+1~c+a+1=-1$ (đpcm)

Bài 8.4.
Để giải phương trình $(x-6)^4 + (x-8)^4 = 16$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định biến và điều kiện
Gọi $y = x - 7$. Điều này giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc giải phương trình.

Bước 2: Thay đổi phương trình
$(x-6)^4 + (x-8)^4 = 16$
$\Leftrightarrow (y+1)^4 + (y-1)^4 = 16$

Bước 3: Mở rộng các biểu thức
$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$
$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

Bước 4: Cộng hai biểu thức trên
$(y+1)^4 + (y-1)^4 = (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1)$
$= 2y^4 + 12y^2 + 2$

Bước 5: Đặt phương trình mới
$2y^4 + 12y^2 + 2 = 16$
$\Leftrightarrow 2y^4 + 12y^2 - 14 = 0$
$\Leftrightarrow y^4 + 6y^2 - 7 = 0$

Bước 6: Giải phương trình bậc bốn
Đặt $z = y^2$, ta có phương trình bậc hai:
$z^2 + 6z - 7 = 0$

Bước 7: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai
$z^2 + 6z - 7 = 0$
Phương trình này có dạng $az^2 + bz + c = 0$, với $a = 1$, $b = 6$, $c = -7$.

Tìm $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
$\sqrt{\Delta} = 8$

Các nghiệm của phương trình bậc hai là:
$z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$
$z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$

Bước 8: Tìm giá trị của $y$
$z = y^2$, nên:
$y^2 = 1$ hoặc $y^2 = -7$ (loại vì $y^2$ không thể âm)

Do đó, $y = 1$ hoặc $y = -1$

Bước 9: Tìm giá trị của $x$
$y = x - 7$, nên:
$x - 7 = 1 \Rightarrow x = 8$
$x - 7 = -1 \Rightarrow x = 6$

Vậy phương trình $(x-6)^4 + (x-8)^4 = 16$ có các nghiệm là $x = 6$ hoặc $x = 8$.