Câu hỏi Đúng Sai Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D',có $A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0),~A^\prime(0;0;2).$ Gọi M, N lần lượt là,,trung điểm của AB và AA' (Hình 3).,a) Toạ độ của điểm M là (1; 0; 0).,b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là: $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$

Question

Câu hỏi Đúng Sai Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D',có $A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0),~A^\prime(0;0;2).$ Gọi M, N lần lượt là,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/c5097650c681477f97e3be60c930efd8.jpg />,trung điểm của AB và AA' (Hình 3).,a) Toạ độ của điểm M là (1; 0; 0).,b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là: $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$

Accepted Answer

Câu 8.
a) Tọa độ của điểm M là (1; 0; 0).

b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;0).$

c) Phương trình mặt phẳng (DMN):

Ta có vectơ $\overrightarrow{DM} = (1; -2; 0)$ và vectơ $\overrightarrow{DN} = (0; -1; 2)$.

Phương trình mặt phẳng (DMN) có dạng: $a(x - 0) + b(y - 2) + c(z - 0) = 0$.

Thay tọa độ của M và N vào phương trình này ta có:
- Với M(1; 0; 0): $a(1 - 0) + b(0 - 2) + c(0 - 0) = 0 \Rightarrow a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$.
- Với N(0; 1; 0): $a(0 - 0) + b(1 - 2) + c(0 - 0) = 0 \Rightarrow -b = 0 \Rightarrow b = 0$.

Do đó, phương trình mặt phẳng (DMN) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$.

d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN):

C' có tọa độ (2; 2; 2).

Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) là:
$$ d = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 1 + 2 - 1|}{\sqrt{1 + \frac{1}{4} + 1}} = \frac{4}{\sqrt{\frac{9}{4}}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}. $$

Đáp số: 
a) Tọa độ của điểm M là (1; 0; 0).
b) Tọa độ của điểm N là $(0;1;0)$.
c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$.
d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac{8}{3}$.