Giải câu hỏi cho tôi Câu 2:Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{x-1}x-\frac6{x+2}+2\leq0$ là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $ x \neq 0 $ - $ x \neq -2 $ 2. Quy đồng mẫu thức và biến đổi bất phương trình: $$ \frac{x-1}{x} - \frac{6}{x+2} + 2 \leq 0 $$ Quy đồng mẫu thức chung là $ x(x+2) $: $$ \frac{(x-1)(x+2)}{x(x+2)} - \frac{6x}{x(x+2)} + \frac{2x(x+2)}{x(x+2)} \leq 0 $$ Kết hợp các phân thức: $$ \frac{(x-1)(x+2) - 6x + 2x(x+2)}{x(x+2)} \leq 0 $$ Rút gọn tử số: $$ (x-1)(x+2) - 6x + 2x(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 - 6x + 2x^2 + 4x = 3x^2 - x - 2 $$ Vậy bất phương trình trở thành: $$ \frac{3x^2 - x - 2}{x(x+2)} \leq 0 $$ 3. Phân tích nhân tử tử số: $$ 3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1) $$ Bất phương trình trở thành: $$ \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} \leq 0 $$ 4. Xác định các điểm giao và dấu của các thừa số: - Các điểm giao: $ x = -\frac{2}{3}, x = 0, x = -2, x = 1 $ - Xét dấu của các thừa số trên các khoảng: - $ x < -2 $: $ (3x + 2) < 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) < 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ - $ -2 < x < -\frac{2}{3} $: $ (3x + 2) < 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} < 0 $ - $ -\frac{2}{3} < x < 0 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ - $ 0 < x < 1 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) < 0, x > 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} < 0 $ - $ x > 1 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) > 0, x > 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ 5. Lập bảng xét dấu: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -\frac{2}{3}) & -\frac{2}{3} & (-\frac{2}{3}, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, \infty) \ \hline 3x + 2 & - & - & - & 0 & + & + & + & + & + \ x - 1 & - & - & - & - & - & - & - & 0 & + \ x & - & 0 & - & - & - & 0 & + & + & + \ x + 2 & - & 0 & + & + & + & + & + & + & + \ \hline \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} & + & \text{không xác định} & - & 0 & + & \text{không xác định} & - & 0 & + \ \end{array} $$ 6. Xác định các nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình: - Từ bảng xét dấu, ta thấy các khoảng thỏa mãn $ \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} \leq 0 $ là $ (-2, -\frac{2}{3}] \cup (0, 1] $. - Các giá trị nguyên trong các khoảng này là $ x = -1 $ và $ x = 0 $. 7. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - $ x = -1 $ thỏa mãn ĐKXĐ. - $ x = 0 $ không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy, số nghiệm nguyên của bất phương trình là $ x = -1 $. Đáp số: Số nghiệm nguyên là 1 nghiệm: $ x = -1 $.