trả lời chính xác D. Câu trác nghiệm dung sai. (2,0 điêm),Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1. Trong không gian Oxyz, $d_1:\frac{x+3}2=\frac{y+2}3=\frac{z-16}2$ và $d_2:\frac{x-5}1=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-20}{-1}$,a) Đường thẳng $d_1$ có vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow u_1=(2;3;2).$,b) Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M(5;1;20)$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;-4;-1).$,c) Đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.,$d)~\cos(d_1,d_2)=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{17}}.$,Câu 2. Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội I có 6 vận động viên, đội II có 8 vận động,viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là,0,8 và 0,65. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.,a) Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là 0,8 .,b) Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac57.$,c) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội II . Xác suất để vận động viên đó đạt huy,chương đồng là 0,65.,d) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội I . Xác suất để vận động viên đó không đạt,huy chương đồng là 0.8.

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) Đường thẳng $d_1$ có vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1} = (2; 3; 2)$.

b) Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M(5; -1; 20)$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1; -4; -1)$.

c) Để kiểm tra xem hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có chéo nhau hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay song song.

Phương trình tham số của $d_1$:
$$ 
x = -3 + 2t, \quad y = -2 + 3t, \quad z = 16 + 2t 
$$

Phương trình tham số của $d_2$:
$$ 
x = 5 + s, \quad y = -1 - 4s, \quad z = 20 - s 
$$

Ta giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(x, y, z)$. Khi đó ta có:
$$ 
-3 + 2t = 5 + s 
$$
$$ 
-2 + 3t = -1 - 4s 
$$
$$ 
16 + 2t = 20 - s 
$$

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình thứ nhất:
$$ 
2t - s = 8 \quad \text{(1)} 
$$

Từ phương trình thứ hai:
$$ 
3t + 4s = 1 \quad \text{(2)} 
$$

Từ phương trình thứ ba:
$$ 
2t + s = 4 \quad \text{(3)} 
$$

Lấy (1) cộng với (3):
$$ 
4t = 12 \implies t = 3 
$$

Thay $t = 3$ vào (1):
$$ 
2(3) - s = 8 \implies 6 - s = 8 \implies s = -2 
$$

Kiểm tra lại với phương trình thứ hai:
$$ 
3(3) + 4(-2) = 9 - 8 = 1 
$$

Vậy $t = 3$ và $s = -2$ thỏa mãn cả ba phương trình. Do đó, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm:
$$ 
x = -3 + 2(3) = 3, \quad y = -2 + 3(3) = 7, \quad z = 16 + 2(3) = 22 
$$

Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $(3, 7, 22)$.

d) Để tính $\cos(d_1, d_2)$, ta sử dụng công thức:
$$ 
\cos(d_1, d_2) = \left| \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{u_1}| |\overrightarrow{u_2}|} \right|
$$

Tính tích vô hướng:
$$ 
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-4) + 2 \cdot (-1) = 2 - 12 - 2 = -12 
$$

Tính độ dài các vectơ:
$$ 
|\overrightarrow{u_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17} 
$$
$$ 
|\overrightarrow{u_2}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} 
$$

Do đó:
$$ 
\cos(d_1, d_2) = \left| \frac{-12}{\sqrt{17} \cdot 3\sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-12}{3\sqrt{34}} \right| = \frac{4}{\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{34} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}
$$

Vậy $\cos(d_1, d_2) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$.

Câu 2.
a) Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là 0,8.

Số lượng vận động viên trong đội I là 6, tổng số lượng vận động viên là 6 + 8 = 14. 
Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là:
$$ P(\text{đội I}) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 0,4286 $$

b) Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$.

Xác suất để vận động viên thuộc đội I đạt huy chương đồng là 0,8, xác suất để vận động viên thuộc đội II đạt huy chương đồng là 0,65. 
Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là:
$$ P(\text{huy chương đồng}) = P(\text{đội I}) \times P(\text{huy chương đồng | đội I}) + P(\text{đội II}) \times P(\text{huy chương đồng | đội II}) $$
$$ P(\text{huy chương đồng}) = \left( \frac{3}{7} \right) \times 0,8 + \left( \frac{4}{7} \right) \times 0,65 $$
$$ P(\text{huy chương đồng}) = \frac{3}{7} \times 0,8 + \frac{4}{7} \times 0,65 $$
$$ P(\text{huy chương đồng}) = \frac{2,4}{7} + \frac{2,6}{7} $$
$$ P(\text{huy chương đồng}) = \frac{5}{7} $$

c) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội II. Xác suất để vận động viên đó đạt huy chương đồng là 0,65.

Xác suất để vận động viên thuộc đội II đạt huy chương đồng là 0,65.

d) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội I. Xác suất để vận động viên đó không đạt huy chương đồng là 0,2.

Xác suất để vận động viên thuộc đội I không đạt huy chương đồng là:
$$ P(\text{không huy chương đồng | đội I}) = 1 - P(\text{huy chương đồng | đội I}) $$
$$ P(\text{không huy chương đồng | đội I}) = 1 - 0,8 = 0,2 $$

Đáp số:
a) Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là $\frac{3}{7}$.
b) Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là $\frac{5}{7}$.
c) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội II. Xác suất để vận động viên đó đạt huy chương đồng là 0,65.
d) Giả sử vận động viên được chọn thuộc đội I. Xác suất để vận động viên đó không đạt huy chương đồng là 0,2.