giup minh voi a $H(2;1;1)$,Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ-Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x-2y+2z-2=0$ và điểm,$I(-1;2;-1).$ Biết mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn,(C) có diện tích là 25x. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,a) Bán kính đường tròn (C) là $r=5.$,b) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 3.,c) Tâm đường tròn (C) có tọa độ là $H(1;3;1).$,d) Phương trình mặt cầu (S) là $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16.$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Bán kính đường tròn (C) là $ r = 5 $.

Diện tích của đường tròn (C) là $ 25\pi $. Diện tích của một đường tròn được tính bằng công thức:
$$ S = \pi r^2 $$

Do đó:
$$ 25\pi = \pi r^2 $$
$$ r^2 = 25 $$
$$ r = 5 $$

Khẳng định này là đúng.

b) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 3.

Khoảng cách từ một điểm $ I(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ I(-1, 2, -1) $$
$$ (P): x - 2y + 2z - 2 = 0 $$

Ta có:
$$ d = \frac{|-1 - 2(2) + 2(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} $$
$$ d = \frac{|-1 - 4 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} $$
$$ d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{9}{3} $$
$$ d = 3 $$

Khẳng định này là đúng.

c) Tâm đường tròn (C) có tọa độ là $ H(1, 3, 1) $.

Tâm đường tròn (C) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua tâm I. Đường thẳng này có phương vector pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là $ \vec{n} = (1, -2, 2) $.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua I và có vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $:
$$ x = -1 + t $$
$$ y = 2 - 2t $$
$$ z = -1 + 2t $$

Tâm đường tròn (C) là giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P). Thay vào phương trình của mặt phẳng (P):
$$ (-1 + t) - 2(2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 2 = 0 $$
$$ -1 + t - 4 + 4t - 2 + 4t - 2 = 0 $$
$$ 9t - 9 = 0 $$
$$ t = 1 $$

Thay $ t = 1 $ vào phương trình tham số:
$$ x = -1 + 1 = 0 $$
$$ y = 2 - 2(1) = 0 $$
$$ z = -1 + 2(1) = 1 $$

Tâm đường tròn (C) là $ H(0, 0, 1) $, không phải $ H(1, 3, 1) $.

Khẳng định này là sai.

d) Phương trình mặt cầu (S) là $ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 16 $.

Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến tâm đường tròn (C) cộng với bán kính đường tròn (C).

Khoảng cách từ I đến tâm đường tròn (C) là 3 (đã tính ở phần b). Bán kính đường tròn (C) là 5 (đã tính ở phần a).

Bán kính của mặt cầu (S) là:
$$ R = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} $$

Phương trình mặt cầu (S) là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{34})^2 $$
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 34 $$

Khẳng định này là sai.

Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai